Les thèmes abordés lors de l'École d'été du CRM à Banff furent: l'optimisation de structure et de forme (y compris les micro-stuctures), les problèmes de transition de phase et de frontières libres et les méthodes numériques associées. Tout ne pouvait être couvert et nous avons dû sélectionner certains sujets: la coopération à l'été 1990 entre John Chadam, co-organisateur de l'International Meeting sur les frontières libres, et Michel Delfour, organisateur du Séminaire de Mathématiques Supérieures de l'OTAN sur l'optimisation de forme et les frontières libres, a influencé notre choix. Nous voulions rapprocher les chercheurs de ces deux communautés et inciter les échanges et la collaboration dans les domaines où la géométrie, les frontières et les interfaces jouent un rôle central. L'expérience se révéla un véritable succès, comme le confirme l'École (5 ans plus tard).
La géométrie est utilisée de plus en plus souvent dans la conception, l'identification et le contrôle des procédés technologiques. La conception optimale et la conception de forme ont d'abord eu des applications en mécanique (N. Kikuchi en industrie automobile), puis récemment en traitement de l'image (Geman et Geman, Ambrosio, Richardson, Morel, Lions, etc.), en matériaux composites, en génie aérospatial (réservoirs avec membranes souples, design des antennes paraboliques), etc. Dans d'autres applications, la géométrie apparaît comme une variable de contrôle, par exemple en «optimal swimming» ou pour la stabilisation des membranes et des plaques par variations périodiques des frontières.
La théorie géométrique de la mesure, très fructueuse dans l'étude des surfaces minimales, est de plus en plus utilisée en optimisation de forme. De même, les récents travaux sur le mouvement par courbure moyenne, les problèmes d'hystérésis, etc. sont autant d'outils d'un grand potentiel dans d'autres contextes.
L'école visait principalement des étudiants dans leur dernière année de doctorat ou ayant récemment obtenu leur diplôme. Son objectif était de les initier à certains problèmes actuels dans lesquels la géométrie ou la structure est une variable-clef pour la compréhension, la modélisation et le contrôle des systèmes physiques et technologiques, et de leur exposer les derniers travaux en Mathématiques, Mécanique et Physique dans ce contexte.
Les sujets couverts furent l'optimisation de forme et la conception optimale, les modèles mathématiques en sciences des matériaux, l'hystérésis, la supraconductivité, les transitions de phase, les problèmes de frontières libres et certains aspects numériques associés.
En plus des neuf principaux invités, cinq jeunes canadiens remarquables (dont trois femmes) ont apporté leur concours. Six conférences spéciales ont aussi été données dans le séminaire de l'après-midi. Voici les principaux orateurs (six heures) et le titre de leur conférence: John Chadam (McMaster Univ. et Fields Institute), Reactive Flows in Porous Media; Alain Damlamian (École Polytechnique, France), Variational approach to the Stefan problem and extensions to the phase field model with constraints; Michel Delfour (CRM et Univ. de Montréal), Introduction to shape and geometric optimization; Ingo Mueller (Technische Universität Berlin), Mechanics and thermodynamics of phase transitions in shape memory alloys; Jacob Rubinstein (Technion, Israel), Mathematical models in superconductivity; Mete Soner (Carnegie Mellon, USA), Front propagation and phase field theory; Claudio Verdi (Università di Milano, Italy), Numerical analysis of geometric motion of fronts; Augusto Visintin (Università degli Studi di Trento, Italy), Models of Hysteresis; Jian-Jun Xu (McGill), Interfacial Instabilities, Pattern Formation and Selection.
Le deuxième groupe de conférenciers (2 heures) et leur titre furent: Anne Bourlioux (CERCA et Univ. de Montréal), Detonation and propagation of shocks; Lia Bronsard (McMaster Univ.), Interface dynamics as singular limits of Ginzburg-Landau equations; Katie Coughlin (CERCA et Univ. de Montréal), Transition to turbulence; Robert Guénette (Univ. Laval), Numerical analysis of viscoelastic fluids and liquid crystals; Michael Ward (Univ. of British Columbia), Dynamical Metastability and Singular Perturbations.
Les 6 conférences spéciales (1 heure) étaient: Toyohiko Aiki (Gifu Univ., Japan), One-phase Stefan problems for semilinear parabolic equations; Changfeng Gui (Univ. of British Columbia), A three layered minimizer in triple phase transition; William D. Kalies (Georgia Institute of Technology), On the asymptotic behaviour of a phase-field model for elastic phase transitions; Nobuyuki Kenmochi (Chiba Univ., Japan), Attractors for non-isothermal models of phase transitions; Robert E. O'Malley, Jr (Univ. Washington), Supersensitivity of shocks and transition layers for certain singularly perturbed boundary value problems; Hong-Ming Yin (Univ. of Notre-Dame, USA), A free boundary problem describing a chemical diffusion process with localized reaction.
Les notes de cours de l'école d'été du CRM seront publiées par l'AMS, dans la collection CRM Proceedings and Lecture Notes Series. Précisons que le livre de C. Verdi a été accepté pour publication dans notre collection Monograph Series.
Le but de la conférence était de rapprocher les grands spécialistes des méthodes numériques pour les équations d'Euler et de Navier-Stokes, et de faire un survol clair des derniers travaux sur les méthodes de haute résolution (différences finies, éléments finis, volumes finis) pour des fluides compressibles ou non. De nombreux problèmes numériques avec leurs applications en ingénierie y furent présentés.
Les participants inscrits étaient au nombre de 75, et les exposés, donnés par des conférenciers très qualifiés, ont couvert, de façon claire et intéressante,la plupart des méthodes numériques importantes en dynamique des fluides, et plus particulièrement pour les fluides compressibles et les applications en aérodynamique.
Trente-cinq étudiants au doctorat ont participé à ces activités, et beaucoup d'entre eux étaient ravis de pouvoir assister à des conférences de haut calibre, très bien présentées et structurées, portant sur les récents travaux en méthodes numériques pour les équations d'Euler et de Navier-Stokes, et sur des applications concrètes en ingénierie. Parmi les conférenciers qui s'intéressent à ces applications, on comptait: A. Jameson (consultant en aérodynamique pour les grands fabricants d'avions américains), A. Dervieux, O. Pironneau, B. Stoufflet (consultants en aérodynamique pour Dassault Aviation et Aérospatiale, France), B. van Leer, E. Tadmor, E. Turkel, H. Yee (consultants pour la NASA), S.K. Godunov (ancien consulant scientifique en aérodynamique dans le programme aérospatial russe), M. Fortin et W.G. Habashi (consultants pour Hydro-Québec et Pratt and Whitney, respectivement).
Les conférences portaient sur 5 aspects fondamentaux de la recherche en méthodes numériques pour les équations d'Euler et de Navier-Stokes.
Méthodes numériques pour les équations d'Euler. R. Abgrall (INRIA) a présenté ses travaux avec A. Harten sur la «Multiresolution Representation in Unstructured Meshes», une technique utilisée pour représenter des données provenant de la discrétisation de fonctions en maillage non structuré, en termes de leurs composantes d'échelles locales, au moyen d'une suite emboîtée de discrétisations. A. Dervieux (INRIA) a décrit deux stratégies, basées sur les méthodes des éléments finis mixtes et des volumes finis, qui servent à atténuer ou même complètement éviter la diffusion numérique fallacieuse (dérivation d'une dissipation d'ordre supérieur ou construction de partitions en volumes finis dépendant de l'écoulement). M. Hafez (U. of California, Davis) a exposé quelques anomalies associées à la non-unicité de la solution numérique des équations d'Euler. B. van Leer (Univ. of Michigan) a discuté de problèmes intéressants reliés à la décom position des opérateurs et aux maillages décalés, et a exposé ses travaux faits en collaboration avec E. Turkel sur la comparaison des méthodes de préconditionne ment (à la fois pour les équations d'Euler et de Navier -Stokes). E. Tadmor (Tel Aviv Univ. et U.C.L.A.) a dé crit son schéma aux différences centrées uni-dimen sionnel où les problèmes de Riemann sur les interfa ces de cellules sont contournés en utilisant les systè mes de maillages alternés (travail conjoint avec H. Nessyahu). X.D. Liu (Courant Institute for Mathematical sciences, NYU), en collaboration avec P.D. Lax, a introduit un nouveau principe de positivité pour les schémas numériques des systèmes hyperboliques, et a présenté une famille de schémas fort précis du se cond ordre en les variables de temps et d'espace, avec une structure très simple basée sur la décomposition caractéristique. Ces nouveaux schémas, comparés aux méthodes bien connues, sont très efficaces et compé titifs.
Méthodes numériques pour les équations de Navier -Stokes. M.J. Ivanov (Central Institute of Aviation Motors, Moscou) a décrit les derniers progrès en cal cul de la dynamique des fluides pour des écoulements stationnaires et transitoires dans différents types de turbines ou de leurs constituants. O. Pironneau (Uni v. Paris VI et INRIA) a discuté des lois de paroi pour les écoulements turbulents, qui sont considérablement utilisées pour simplifier les calculs dans les régions de forts gradients ou les régions à géométrie complexe. Il a donné une interprétation de ces lois par décom position du domaine, et des estimés de l'erreur pour les approximations d'un écoulement simple potentiel avec frontières complexes. Il a aussi présenté différents tests pour les écoulements turbulents. B. Stoufflet (Das sault Aviation) a brièvement expliqué comment pal lier les déficiences des méthodes numériques lorsqu'el les sont mises en pratique dans les codes utilisés en milieu industriel, et comment employer ces métho des en tant qu'outils efficaces et algorithmes d'ana lyse, en optimisation de forme. H. Yee (NASA-Ames) a exposé des méthodes implicites super-stables et des codes time-marching, démontrant ainsi de quelle fa çon la théorie des systèmes dynamiques peut contri buer à la fiabilité, l'efficacité et à l'étude des proprié tés de convergence et de stabilité des codes time -dependent, pour obtenir les solutions numériques sta tionnaires (travail en collaboration avec P.K. Sweby).
Algorithmes multidimensionnels. P. Arminjon (Univ. de Montréal) a présenté une extension bidimension nelle de volumes finis pour les schémas de Lax -Friedrichs et Nessyahu-Tadmor (travail en collabora tion avec M.C. Viallon, Univ. de St-Étienne), avec plu sieurs applications pour les problèmes typiques bidi mensionnels sur les maillages non structurés. H. Deconinck (Vrije Universiteit Brussel) a exposé des schémas amont compacts multidimensionnels pour les équations d'Euler sur les maillages non structurés, mettant ainsi en évidence le lien entre les méthodes des éléments finis et les autres schémas de distribu tion (schémas Fluctuation-Splitting) travail en col
laboration avec H. Paillère. C. Hirsch (Vrije Universiteit Brussel) a expliqué certains algorithmes multidimen sionnels amont pour les équations d'Euler et de Navier-Stokes, en utilisant une approche en volumes finis aux cellules centrées, sur les maillages structu rés. Il a aussi présenté certains schémas très précis du premier et second ordre, avec diffusion transversale respectivement minimale ou nulle (travail en collabo ration avec P. van Ransbeeck). R.J. Le Veque (Univ. of Washington) a décrit un algorithme tridimensionnel pour les systèmes hyperboliques de lois de conserva tion, qui utilisait une méthode de volumes finis «unsplit». Il s'agissait, plus précisément, de résoudre des problèmes unidimensionnels de Riemann sur les états constants par morceaux, et non sur les valeurs interposées, puis d'utiliser les ondes émanant de cette solution pour définir des termes de correction du se cond ordre; les ondes sont ensuite décomposées en résolvant des problèmes de Riemann dans la direc tion transversale, pour modéliser les termes de déri vée mixte (travail en collaboration avec J.O. Langseth).
Génération de maillage et maillage adaptatif. W.G. Habashi (Concordia Univ./Pratt and Whitney) a ex posé un maillage adaptatif, axé sur les arêtes, tenant compte de l'orientation et de la déformation: il se ba sait sur les estimés de l'erreur et sur les mécanismes servant à générer le maillage en fonction de ces esti més d'erreur. De nombreux tests numériques ont dé montré l'efficacité de sa méthode (travail en collabo ration avec M. Fortin et deux de ses étudiants de Con cordia Univ. et de l'Univ. Laval). S.K. Godunov (Aca démie russe des Sciences), un des pionniers du calcul en dynamique des fluides, a présenté ses recherches entreprises avec ses collègues V.M. Gordienko et G.A. Chumakov sur la construction de maillages quasi-isométriques bidimensionnels.
Situation actuelle, défis et avenir du calcul en dyna mique des fluides. Finalement, A. Jameson (Princeton Univ.), à la dernière conférence, a exposé un re marquable survol du rôle des méthodes numériques en dynamique des fluides appliquées à la conception des avions. Tenant compte des exigences en milieu industriel et des compromis entre la précision de la modélisation et les coûts de calcul, il a présenté, de façon unifiée, les principaux problèmes en conception d'algorithmes et de schémas de capture des chocs. Il a aussi décrit les techniques de la théorie du contrôle, servant à déterminer les formes optimales en aérody namique. Il voulait ainsi démontrer que, dans l'avenir, une combinaison des méthodes d'optimisation et d'analyse multidisciplinaire, serait nécessaire pour l'avancement des techniques de design.
Cet atelier a été le troisième et dernier des ateliers sur les méthodes numériques en dynamique des fluides qui ont été organisés cet automne, dans le cadre de l'année thématique du CRM sur l'analyse numérique, la théorie de l'approximation et ses applications. Trente-et-une personnes, venant du Canada, des États -Unis, de l'Europe et de l'Asie, y ont participé. Le sujet étant assez spécialisé, l'atelier se voulait informel, al louant à chaque conférencier une période de deux heures pour favoriser les discussions et les échanges. L'auditoire se composait d'autant de mathématiciens que de physiciens; les auditeurs montréalais ont été particulièrement sollicités.
Le but de l'atelier était de rapprocher des cher cheurs de différentes disciplines, partageant le même intérêt pour les méthodes innovatrices de résolution des équations aux dérivées partielles, surtout celles décrivant les écoulements de fluides. L'accent était mis sur la coexistence des fluides structurés cohérents à grande échelle avec, apparemment, des fluctuations aléatoires à petite échelle. Les méthodes numériques ne permettant pas une résolution exacte à toutes les échelles importantes, on aimerait en développer d'autres qui traitent spécifiquement des petites échel les avec des modèles statistiques et qui rendent plus ou moins compte de l'exacte dynamique des grandes échelles; il s'avère très difficile de mettre précisément en oeuvre ces nouvelles méthodes, ce qui semble té moigner de notre mauvaise compréhension de l'as pect physique et mathématique des fluctuations ap paremment aléatoires à petite échelle, et de leurs ef fets sur l'écoulement à grande échelle. Chacun des conférenciers invités a fait part de sa propre perspec tive sur ce problème de base de l'interaction entre les grandes et les petites échelles.
Les sujets choisis étaient divisés en trois thèmes généraux: dynamique physique des fluides et modé lisation physique; approche statistique et modélisa tion des données; et théorie des variétés inertielles appliquée aux techniques de calcul.
Dans le cadre du premier thème, Phil Marcus (U.C. Berkeley) et Jeff Weiss (U. Colorado) ont parlé de la dynamique géophysique des fluides, et plus pré cisément de la formation des grandes structures co hérentes, dans un contexte de turbulence (comme la tache rouge de Jupiter et le Gulf Stream). Ils ont in sisté sur le fait que les procédés physiques de forma tion de structure peuvent souvent être compris avec des modèles relativement simples, alors qu'une des cription mathématique complète fait défaut. Tom Warn (McGill) a exposé les difficultés que l'on doit surmonter si l'on veut développer rigoureusement des modèles de turbulence consistants. Katie Coughlin (U. de Montréal) a présenté certains problèmes particu liers associés aux écoulements transitoires à intermit tence spatiale ou temporelle. Finalement, Charles Meneveau (John Hopkins) a traité des simulations des grandes échelles (Large Eddy Simulations) pour les écoulements turbulents, qui modélisent l'effet des petites échelles par une moyenne calculée le long d'une trajectoire de particule fluide.
Pour le second thème, Emily Ching (CUHK) a exposé une analyse théorique des statistiques sur les fluctuations scolaires passives, en comparaison avec l'expérimentation. S. Balachandar (U. Illinois) a pré senté une technique statistique pour mettre en valeur des traits caractéristiques cohérents à partir des don nées sur la vitesse, que l'on utilise, par exemple, pour comparer les structures apparaissant dans différentes situations physiques. Henry Greenside (Duke Univ.) a discuté des différentes approches pour quantifier les patterns ordonnés ou désordonnés, en calcul de la convection, en reprenant des idées des statistiques ou de la physique de la matière condensée. Michael Kirby (Colorado State Univ.) a expliqué une nouvelle tech nique pour construire des modèles de basse dimen sion d'équations aux dérivées partielles, avec des ré seaux de neurones à données numériques. Nadine Aubry (CUNY) a exposé une extension de la décom position de Karhuren-Loève, une technique consistant à décomposer un champ aléatoire en un ensemble de modes, optimal pour la norme de l'énergie, par rap port aux champs dépendant du temps et de l'espace.
Dans le cadre du troisième et dernier thème, Edriss Titi (U.C. Irvine) a présenté une rétrospective de la théorie des variétés inertielles et des méthodes numé riques non linéaires de Galerkin; cela semble être le cadre idéal pour comprendre le comportement des équations de Navier-Stokes, en dimension finie. Martine Marion (Lyon) a exposé un algorithme des éléments finis pour les équations sur une variété iner tielle approchée, avec les estimés de l'erreur et les différentes mises en oeuvre. John Heywood (UBC) a sou ligné que l'amélioration des estimés de l'erreur pour les méthodes non linéaires de Galerkin peut être attri buée à une réduction de l'intensité du phénomène de Gibbs, nous incitant ainsi à être prudent quant à l'in terprétation physique de la théorie. Il a aussi présenté une nouvelle méthode spectrale de Fourier adaptive pour les écoulements bidimensionnels forcés.
En général, les participants (dont presque la moi tié n'étaient pas familiers avec la spécialité de l'autre moitié) ont été enchantés par la variété des sujets ex posés. Les mathématiciens ont beaucoup appris du point de vue des physiciens, et les physiciens, eux -mêmes, ont trouvé les discussions sur les problèmes mathématiques de base très enrichissantes. La période allouée de deux heures par cours a été très appréciée, car elle permettait une présentation complète des tra vaux de chaque conférencier. Ainsi, l'on peut dire que l'atelier, véritable forum sur l'échange des idées scien tifiques, a été un grand succès.
Le but de cet atelier était de réunir pendant deux semaines les meilleurs experts mondiaux sur les mé thodes numériques contemporaines en mécanique des fluides. Les conférences ont été conçues sous la forme de cours du niveau des étudiants gradués, des chercheurs et des ingénieurs. Les 60 participants étaient originaires des universités de Montréal mais aussi du Canada, d'Europe et d'Amérique du Nord.
Les thèmes suivants ont été abordés.
Les nouvelles techniques numériques utilisées en environnement. Jean Côté (RPN, Montréal, Canada) a donné une conférence sur le code «Global éléments finis» actuellement en cours de tests pour la prévision numérique du temps à Environnement Canada. Le code utilise la méthode semi-lagrangienne qui permet une plus grande stabilité temporelle. Sylvie Gravel (RPN, Montréal, Canada) nous a exposé les principaux problèmes liés aux schémas semi-implicites et semi -lagrangiens. David Dritschel (Univ. of Cambridge, Royaume Uni) a donné deux conférences sur la dyna mique des contours. Cette méthode numérique per met une résolution très précise des filaments de vorticité et peut être utilisée pour les simulations du vortex polaire par exemple.Une nouvelle méthode de remaillage continu utilisant un recalcul de la métri que du système de coordonnées a été utilisée pour la dynamique des tornades par Brian Fiedler (Univ. of Oklahoma, États-Unis).Cette méthode présente une alternative intéressante aux codes de remaillage auto matiques industriels. Ue-Li Pen (Princeton, États-Unis) utilise une méthode très similaire pour décrire les écou lements astrophysiques. Ue-Li et Brian ont pu comparer leurs algorithmes au cours du congrès et la tech nique développée indépendamment pour l'astrophy sique s'est révélée, dans ce cas, être plus performante.
Les techniques de fermeture utilisées pour la simu lation des fluides turbulents se divisent en deux ca tégories: la simulation des grandes échelles et la mo délisation des tenseurs de Reynolds. L'état de l'art sur les simulations des grandes échelles («LES») a été dé crit par Joel Fertziger (Stanford, États-Unis). Il a no tamment mentionné un modèle LES pour l'écoule ment autour d'un bâtiment. La modélisation des ten seurs de Reynolds nous a été détaillée par Brian Launder (Manchester, Royaume Uni) dans une série de 5 conférences. Ces méthodes, qui sont des versions plus complexes mais plus exactes de la méthode «k -epsilon», commencent à être utilisées par l'industrie.
Les méthodes pour traiter les discontinuités. Charles Hirsch (Vrije Universiteit, Bruxelles, Belgique) a parlé des schémas de capture de chocs. Il a aussi parlé des nouveaux schémas amont multidimensionnels qui semblent très performants. Stanley Osher (UCLA, Los Angeles, États-Unis) a décrit les schémas «ENO» (es sentiellement non oscillants) dans les cas de la com bustion. Maurice Meneguzzi (IDRIS, Paris, France) utilise ces méthodes pour la simulation de fluides diphasiques (eau et huile) intéressant l'industrie pé trolière. L'interface eau-huile est traitée comme une frontière interne. Les techniques de frontière sont éga lement l'objet de recherches mathématiques. Alfio Quarteroni (Cagliari, Italie) a donné une série de con férences sur les méthodes de décomposition de do maines.
Les méthodes aux différences finies peuvent être utilisées avec une très grande précision grâce aux sché mas compacts. Sanjiva Lele (Stanford, États-Unis) nous en a montré quelques applications en génie.
Enfin, Claude Basdevant (École Normale Supérieure, Paris) a parlé de méthodes à base d'ondelettes pour la résolution des EDP. Ces questions ne sont pas en core résolues et on se limite généralement à l'équa tion de Burger à une seule dimension d'espace.
L'assistance ayant été plus nombreuse que pré vue, nous avons dû, à la dernière minute, utiliser un plus grand amphithéâtre. Les cours ont été très ap préciés. Ils ont non seulement permis aux jeunes cher cheurs des différentes universités de Montréal de ren contrer des membres éminents de la communauté scientifique internationale mais aussi de nouer des contacts entre eux. Du fait de la grande compétence pédagogique des conférenciers (tous professeurs), les étudiants de maîtrise ont aussi pu apprendre.
Dix ateliers sur les fonctions splines et la théorie des ondelettes ont eu lieu au Centre de recherches mathématiques du 22 janvier au 12 avril 1996. Le thème principal portait sur les développements récents relatifs aux fonctions splines et aux ondelettes autant sur le plan théorique que sur le plan des applications. L'accent principal était mis sur la contribution de ces deux sujets à la modélisation de courbes et de surfa ces. Dans un premier temps, nous avons voulu faire le point sur les splines à une et à plusieurs variables. Dans un second temps, nous avons considéré les ap plications des ondelettes non seulement à l'imagerie numérique et à la théorie de l'interpolation, mais aussi à la théorie des signaux, à la résolution numérique d'équations différentielles, à la géométrie fractale, à la physique ou encore à la statistique. Nous avons mis en valeur les travaux qui se sont faits en particulier à Edmonton et à Montréal dans ce domaine. Nous avons mis en interaction mathématiciens, informaticiens, ingénieurs, physiciens et statisticiens. Nous avons augmenté les contacts entre les mathématiciens cana diens, américains et français.
Il y a eu 89 conférences d'une heure et 39 commu nications de 30 minutes. L'auditoire moyen a été de 30 personnes par conférence. Le professeur Yves Meyer, dans la chaire Aisenstadt, a donné 5 conféren
ces de 90 minutes qui ont attiré un public d'une cen taine d'auditeurs. En plus des conférences, trois dis cussions ont porté sur la modélisation géométrique, les applications des multifractales et les ondelettes en physique. On a présenté le vidéo d'une conférence d'Ingrid Daubechies. Enfin, deux participants ont pré senté chacun un logiciel.
Les pays représentés par leurs participants ont été outre le Canada (31), les États-Unis (38), la France (21), l'Allemagne (7), l'Argentine (3), la Suisse (3), l'Aus tralie (2), la Belgique (2), le Chili (2), la Croatie (2), la Hollande (2), le Japon (2), l'Angleterre (1), Chypre (1), l'Écosse (1), Israël (1), la Pologne (1) et la Russie (1). À cela, il faut ajouter les participants locaux qui se sont inscrits au nombre de 58.
Au total, il y eut 47 jours d'activités avec en moyenne trois conférences ou communications par jour. Ce rythme d'activités permettait aux participants d'échanger leurs idées de façon intensive. D'après le témoignage de plusieurs participants, cette formule a été bien appréciée.
Une très grande variété de chercheurs y ont trouvé leur compte. Parfois, la théorie était au premier plan, mais le plus souvent, ce sont les applications qui rete naient l'attention. Les participants venaient de tous les horizons scientifiques; c'est ainsi que sont venus des mathématiciens purs et des mathématiciens ap pliqués, des physiciens, des statisticiens, des informa ticiens, des ingénieurs, et même des professionnels de l'animation, des optométristes, des météorologistes, des professionnels des télécommunications et un éco nomiste.
Un soin particulier a été apporté pour que ces ac tivités aient un impact le plus grand possible auprès d'étudiants canadiens. C'est ainsi qu'en préparation à ces ateliers, à l'automne 1995, un cours sur les splines et ondelettes a été donné aux étudiants du second et du troisième cycle. De plus, une vingtaine d'étudiants gradués de tout le Canada ont reçu un soutien finan cier et la plupart ont donné une communication brève de 30 minutes.
On a sollicité tous les auteurs d'une conférence d'une heure pour les comptes rendus en autant qu'il s'agisse de matériel original. Le comité scientifique qui veillera à l'arbitrage est formé des professeurs Alain Arnéodo, John Benedetto, Hermann Brunner, Sté phane Jaffard, Alain Le Méhauté, Brenda McGibbon, Sherman Riemenschneider et Philippe Tchamitchian. On espère publier les comptes rendus au plus tard à la fin de 1997.
Le professeur Yves Meyer rédigera une monographie relative à ses conférences de la chaire Aisenstadt.
Les organisateurs des ateliers ont été les profes seurs Martin Bilodeau, Gilles Deslauriers, Serge Dubuc, Véronique Hussin, Jean-Marc Lina, Brenda MacGibbon, Marc Moore et Sherman Riemenschneider.
Le sujet des ateliers se prêtait admirablement bien pour rassembler des chercheurs de plusieurs domai nes qui ont le souci des applications. Le fait que les ondelettes soient bien implantées en France, aux États -Unis et au Canada a été un atout significatif pour l'or ganisation. La popularité du sujet, son actualité ont joué un rôle déterminant dans le succès des activités.
Indiquons les points saillants sur le plan scientifi que de chacun des ateliers.
Modélisation géométrique par les splines (22-26 janvier). Dans les conférences de cet atelier, la modélisa tion de surfaces à l'aide de fonctions splines a dominé. On a relevé que dans ce cadre, les problèmes mathé matiques soulèvent davantage de défis. Plusieurs ap plications intéressantes de modélisation de surfaces ont été exposées: présentation de tissus (J. P. Dussault, Sherbrooke), modèle de la cornée pour les diagnos tics en optométrie (B. Barsky, U. C. Berkeley), structu res rigides et intersections de surface en architecture (T. Grandine, Boeing Comp. Services). Une table ronde a mis en interaction des gens qui provenaient de di vers horizons: des mathématiciens concernés par les surfaces, des informaticiens faisant de l'animation sur film chez Softimage, des ingénieurs en modélisation d'avions à Boeing ou en imagerie via les télécommu nications.
Splines en approximation et pour les équations dif férentielles (29 janvier-2 février). Deux lignes directrices se sont dessinées dans cet atelier. Le première ligne consistait en l'utilisation des fonctions d'une ou de deux variables dans des problèmes d'approxima tion. La deuxième ligne élaborait sur l'usage efficace des splines pour la résolution d'équations différen tielles. En particulier, Hermann Brunner (Memorial) a fait une excellente synthèse dans ce sens, en cou vrant les recherches principales qui se sont faites de puis une vingtaine d'années. Deux chercheurs de Croatie ont aussi apporté une contribution particu lière.
Splines et ondelettes (12-16 février). Cet atelier fai sait le pont entre les deux premiers ateliers relatifs aux splines et les suivants qui portaient sur la théorie et les applications des ondelettes. Parmi les conférenciers, il y avait en particulier six chercheurs de très grande réputation (Micchelli, Goodman, Riemenschneider, Chui, Ron et Ward) qui ont contribué principalement à la création et à l'analyse d'ondelettes à deux varia bles, à l'aide de fonctions splines de plusieurs varia bles. De plus, le professeur Chui a été, cette semaine -là, le conférencier du Colloque CRM-ISM Mathémati que de Montréal qui a attiré une foule considérable en parlant des ondelettes pour le traitement du signal.
Ondelettes et approximation (19-23 février). Sous l'influence de DeVore, un thème qui s'est singularisé lors de cet atelier a été celui des approximations non li néaires par les ondelettes. Comme l'a souligné B. Lucier (Purdue), ce sujet est devenu d'autant plus po pulaire que l'on a vu son application à l'analyse et à la synthèse des empreintes digitales, comme c'est le cas au FBI. On a aussi relevé l'importance des espaces de Besov en théorie de l'approximation. D. Hardin (Van derbilt) a exposé une construction récente des analy ses multirésolutions entrelacées qui a été découverte par le célèbre groupe de chercheurs à Georgia Tech. D'autres conférenciers ont exposé leurs travaux sur la résolution d'équations hyperboliques à l'aide des on delettes et sur l'approximation par des ondelettes à plusieurs variables.
L'analyse multirésolution et les opérateurs de sub division (26 février-1 mars). L'analyse multirésolution qui est au coeur de la théorie des ondelettes, a été dis cutée par des chercheurs de très grande valeur comme Cohen (Univ. Pierre et Marie-Curie) qui s'est mérité le prix Popov pour ses travaux en théorie de l'approxi mation. La mathématicienne Dyn (Tel Aviv) a exposé les schémas de subdivision avec une ampleur remar quable; ces schémas de subdivision ont d'importan tes applications dans la génération de courbes et de surfaces par informatique. Ce fut aussi un des ateliers qui a attiré le plus d'étudiants de doctorat. D'ailleurs, cette semaine-là, cinq étudiants ont présenté des com munications d'une demi-heure sur leurs propres travaux.
Les ondelettes et les équations différentielles (4-8 mars). L'utilisation des ondelettes pour la résolution d'équations aux dérivées partielles a pris de l'essor et cet atelier a fourni un excellent échantillon de cette tendance. Une forte délégation est venue de France et plusieurs Allemands ont participé aux activités. On retrouvait les deux approches pour trouver numériquement la solution des équations aux dérivées par tielles, celle de l'école américaine représentée par G. Beylkin (Colorado), et celle de l'école française repré sentée par P. Tchamitchian (Aix-Marseille), V. Perrier (Lab. de Météorologie Dynamique - ENS, Paris) et J. Liandrat (Marseille). Les exposés se sont avérés très diversifiés: on a parlé d'équations elliptiques, hyper boliques, paraboliques, d'équations non linéaires comme celle de Burgers ou de Kuramoto-Sivashinsky ainsi que d'équations différentielles ordinaires. Le sujet de la turbulence a aussi été traité par M. Farge (ENS, Paris) et M. Wickerhauser (Washington Univ.).
Les ondelettes pour le traitement du signal et l'ana lyse d'images (11-15 mars). Le traitement du signal avec l'explosion des télécommunications et de l'ima gerie numérique est un domaine des plus appliqués et les ondelettes ont fait valoir leur puissance dans ce champ dès les premières années de leur introduction. Cet atelier a attiré la plus grande cohorte de chercheurs, d'autant plus qu'Yves Meyer avait été pressenti comme principal conférencier. Yves Meyer, figure de proue des ondelettes, a été récipiendaire de la Chaire Aisenstadt à l'occasion de cet atelier. Il a parlé d'ana lyse multifractale, d'analyse microlocale, de l'algo rithme de Mallat si souvent appliqué pour l'analyse d'images, de l'algorithme de Marseille pour la détec tion de chirps, du mouvement brownien fractionnaire. Par la diversité des sujets retenus, par les possibilités considérables d'application à la physique ou au trai tement du signal, les conférences d'Yves Meyer ont attiré un public scientifique très large. De plus, l'audi toire de l'atelier a eu droit à plusieurs autres conféren ces exceptionnelles. C'est ainsi que le statisticien Donoho (Stanford) a parlé avec brio de schémas de raffinements non linéaires pour l'analyse statistique d'un signal. G. Strang du MIT, Kovasevic des labora toires Bell AT&T, Benedetto du Maryland et S. Myers de IBM ont apporté leurs contributions des plus qua lifiées au traitement du signal. Parmi les sujets traités, on a parlé de reconnaissance de la parole, de détec tion de signes avant-coureurs d'une crise d'épilepsie, de filtres et d'analyse d'images. Des communications ont été données par des ingénieurs de Toronto, des chercheurs du Centre de recherche sur les communications d'Ottawa, des chercheurs d'Australie, etc. Cet atelier a marqué le summum du semestre au CRM.
Les ondelettes et les fractales (18-21 mars). Très sou vent en géométrie fractale, se dégage une analyse multirésolution qui est fréquente dans la théorie des ondelettes. S. Jaffard (Créteil), un des conférenciers de l'atelier, a montré que les coefficients des développe ments en ondelettes permettent le calcul de la dimen sion fractale. Dans l'ensemble, c'est l'analyse multifractale qui s'est affirmée comme la principale préoccupation de cet atelier. Notons qu'A. Arnéodo, un physicien de CNRS-Bordeaux, a donné une inté ressante application de l'analyse en ondelettes aux chaînes d'ADN.
L'utilisation des ondelettes en physique (25-29 mars). La mécanique quantique a contribué au premier es sor de la théorie des ondelettes, et il était naturel que l'atelier débute avec une présentation détaillée de ce sujet (T. Ali de Concordia). G. Battle (Texas AetM) a même continué sur la théorie des champs quantiques. D'autres sujets intéressants, comme l'analyse multifractale en turbulence, ont aussi été traités. A. Arnéodo, J. Muzy du CNRS-Bordeaux et S. Jaffard ont discuté des ondelettes en thermodynamique, et J. P. Antoine (Louvain-la-Neuve) en physique atomique et de l'état solide.
Les splines et les ondelettes en statistiques (8-12 avril). Les statisticiens ont souvent besoin d'outils ma thématiques performants, d'où leur intérêt pour les fonctions splines et les ondelettes. D'autre part, la sta tistique pose de nouvelles questions sur ces outils. Dans cet atelier, on a vu à plusieurs reprises l'usage des ondelettes pour l'analyse de données avec bruit (Johnstone de Stanford, Houdré d'Atlanta, von Sachs de Kaiserlautern). Plusieurs conférenciers, tels A. Anroniadis (IMAG, France) et N. Heckman (UBC), ont aussi indiqué comment les splines permettent une meilleure estimation de paramètres dans plusieurs cir constances. Enfin, un ancien étudiant de McGill, main tenant professeur en Floride, J. Ramsay, a élaboré sur le sujet de la tomographie par émission avec les mul tiples problèmes statistiques qui sont en cause.
Les ateliers tenus du 15 au 30 avril 1996 sur les réseaux de neurones artificiels (RNA) avaient pour but de faire le point sur l'état des recherches sur le sujet. Les activités ont porté sur l'aspect théorique (statistiques et apprentissage) durant la première semaine, puis sur la structure et les applications au traitement du signal (en une et deux dimensions). Il faut préciser qu'une session sur les ondelettes avait précédé ces ateliers. Ainsi, le programme a été bâti de manière à faire le lien entre le thème RNA - statistiques (début des ateliers) et celui des relations ondelettes - statistiques (fin de la session précédente). Il en a été de même pour les applications des RNA dans le domaine financier, abordées les deux derniers jours des ateliers, pour assurer l'articulation avec les mathématiques des finances, sujet de la session subséquente, dans le cadre de l'année thématique du Centre de recherches mathématiques.
Plusieurs thèmes débattus vigoureusement ont particulièrement attiré l'attention des nombreux participants. Au niveau de la théorie, une des questions soulevées a été de savoir sur quelle base on devrait contrôler le problème de la surgénéralisation? Après une introduction du sujet par Yoshua Bengio, les deux conférenciers Frederico Girosi et Vladimir Vapnik ont chacun présenté leur point de vue, soit respectivement celui de la régularisation et celui du contrôle automatique de la capacité. Autre idée théorique (néanmoins proche des applications) revenue souvent au cours des présentations: celle de l'utilisation d'un ensemble de modèles pour réduire la variance de l'erreur de généralisation (Yoshua Bengio, Jean-Pierre Nadal, Nathan Intrator). Il était intéressant d'entendre des physiciens, des informaticiens et des statisticiens afficher des points de vue assez différents pendant les périodes de questions.
Au niveau des applications, il faut noter les démonstrations de l'utilisation pratique des RNA présentées par Marco Gori, Bertrand Giraud, Simon Haykin, Hervé Bourlard, Michael Mozer, Patrice Simard, Yann Le Cun et Paul Refenes. Marco Gori exécuta même une démonstration sur ordinateur portable d'un système de reconnaissance de plaques d'immatriculation des voitures. Plusieurs nouveaux algorithmes ont été présentés, comme ceux de Geoff Hinton et Peter Dayan (machine de Helmholtz), de Samy Bengio (modèles de Markov à entrées-sorties), Michael Jordan (modèles graphiques), pour ne citer que ceux-là. Finalement, plusieurs présentations plus spécialisées ont été données, touchant la psychologie cognitive et les algorithmes de renforcement (Jordan Pollak, Sue Becker, Geoff Hinton, Fernando Pineda, Michael Mozer), les implantations sur puce (Hans Peter Graf, Jocelyn Cloutier), ou les applications financières (Yoshua Bengio, Paul Refenes, René Garcia).
Le nombre d'inscrits venant de plusieurs pays s'est maintenu à quatre-vingt-dix durant les deux semaines d'activités. D'ailleurs, un changement de salle a dû être effectué in extremis pour accueillir ce nombre de personnes. De nombreux commentaires sont parvenus aux organisateurs, soulignant le très haut niveau des conférenciers. Certaines discussions ont déjà donné lieu à de nouveaux projets de collaboration, en particulier avec P. Refenes (London School of Economics), K. Muller (GMD-FIRST-Berlin) et B. Giraud (Physique théorique - Saclay), et probablement avec bien d'autres. La tenue des ateliers a suscité un intérêt considérable et a semblé répondre à un besoin réel. Le choix des propriétés des RNA dans le cadre des ateliers thématiques du CRM sur l'analyse numérique semble donc tout à fait approprié.
Cet atelier est le premier de deux sur les récents développements en théorie des fonctions spéciales. Le second sera détaillé immédiatement après et porte sur les q-fonctions spéciales dans les équations linéaires. Tous les participants étaient invités aux deux ateliers et beaucoup d'entre eux en ont profité.
Les transcendants de Painlevé ont été introduits
au début du siècle, pour résoudre une certaine classe
d'équations différentielles ordinaires non linéaires du
second ordre. Plus précisément, P. Painlevé et B. Gambier ont
obtenu toutes les équations de la forme
où le membre de droite est rationnel en y et
et analytique en x, c.-à-d. satisfait ce qu'on
appelle maintenant la propriété de Painlevé. Ils ont
montré que la solution générale de ces équations est
univoque au voisinage de chacune de ses singularités
«mobiles» (c.-à-d. qui dépendent des conditions initiales). Ils ont mis en évidence cinquante classes de
telles équations, et six d'entre elles se sont avérées irréductibles: leur solution générale ne peut être exprimée en
termes de fonctions connues, comme les fonctions elliptiques, ou en termes de solutions d'équations linéaires.
Pendant les trente dernières années, c.-à-d. depuis la découverte des solitons ou plus généralement depuis la théorie moderne des systèmes intégrables de dimension infinie, les transcendants de Painlevé ont connu un essor considérable. Ils apparaissent, en effet, comme solutions de nombreux problèmes physiques, de la théorie de l'optique non linéaire et de la propagation des ondes dans les fluides ou les plasmas à la théorie des champs quantiques et de la mécanique statistique. Tous ces problèmes sont formulés à l'aide d'équations aux dérivées partielles intégrables et les transcendants de Painlevé en sont des solutions spéciales, en général stables, à même de nous informer sur le comportement asymptotique des solutions de nombreux problèmes de Cauchy.
Le but de l'atelier était de réunir les spécialistes de ce domaine prometteur, pour qu'ils exposent clairement des résultats nouveaux ou des travaux antérieurs. Ce fut avec brio que les conférenciers y sont parvenus, au grand contentement des étudiants participants, des chercheurs postdoctoraux et des scientifiques d'autres domaines connexes. Un livre, basé sur les conférences, est d'ailleurs en préparation: il sera écrit en collaboration avec plusieurs auteurs et traitera d'une branche très précise en mathématiques appliquées et en physique théorique.
Trente-six participants se sont inscrits à l'atelier sur les transcendants de Painlevé. Ils venaient de douze pays différents (treize du Canada, quatre des États-Unis et du Japon, trois de France, deux de l'Australie, de l'Italie, de la Pologne et du Royaume-Uni, et un de Belgique, du Mexique, de Taiwan et de Russie). Les conférenciers furent par ordre alphabétique: Yu. Berest (Canada), R. Conte (France), B. Dubrovin (Italie), A.S. Fokas (Royaume-Uni), J. Harnad (Canada), A. Its (États-Unis), N. Joshi (Australie), A.V. Kitaev (Russie), M.D. Kruskal (États-Unis), V. Matveev (France), M. Musette (Belgique), F.W. Nijhoff (Royaume-Uni), K. Okamoto (Japon), A. Ramani (France), C. Rogers (Australie), V. Spiridonov (Canada), H. Umemura (Japon), P. Wiegmann États-Unis) et P. Winternitz (Canada).
A.S. Fokas a présenté une série de quatre cours sur la méthode de l'isomonodromie pour la solution des équations de Painlevé provenant de problèmes physiques spécifiques. Toutes les autres conférences étaient d'une durée d'une heure, laissant amplement le temps pour les discussions.
Les sujets traités furent: (1) équations de Painlevé discrètes, confinement des singularités pour les solutions d'équations aux différences non linéaires, et étude asymptotique des équations de Painlevé discrètes; (2) hamiltoniens, R-matrices, méthodes d'isomonodromie et de Riemann-Hilbert pour l'étude des propriétés des fonctions de Painlevé; (3) comportement asymptotique détaillé des équations de Painlevé continues; (4) solutions spéciales classiques des équations de Painlevé; (5) applications physiques des équation de Painlevé; (6) autres sujets, comme le problème classique des lacunes pour les équations linéaires hyperboliques et comme l'utilisation des méthodes algébriques pour l'étude des équations de Painlevé ou la génération de nouvelles équations vérifiant la propriété de Painlevé.
Le rapport qui suit a été écrit par le professeur Charles Dunkl, publié dans «Newsletter of the SIAM Activity Group on Orthogonal Polynomials and Special Functions» (éd. Wolfram Koepf), en juin 1996, et envoyé sur le réseau de nouvelles électroniques de ce groupe d'activités (éds T.H. Koornwinder et M. Muldoon).
Le lundi 20 mai était jour de fête nationale au Canada (Fête de la Reine), ce qui a déplacé le début de l'atelier au mardi matin. Luc Vinet, co-organisateur aux côtés de Pavel Winternitz et directeur du CRM, a ouvert la session à 9:00, souhaitant la bienvenue aux participants et dédicaçant l'atelier à la mémoire de Waleed Al-Salam, qui est décédé le 14 avril de cette année. Il y avait approximativement dix-sept invités qui ont donné des conférences d'une heure, et quatorze autres ont donné des communications d'une demi-heure. David et Gregory Chudnovsky, quoiqu'invités eux aussi, n'ont pu être présents et furent remplacés. De même, Sergei Suslov fut invité, mais ne put se rendre à la conférence. C'est Dick Askey, qui était déjà invité pour une communication, qui présenta les résultats de Suslov. L'atelier traitait principalement des q-fonctions spéciales, à la fois d'une variable du type Askey-Wilson et de plusieurs variables du type Macdonald. Les méthodes algébriques étaient hautement élaborées et sophistiquées et étaient basées principalement sur les systèmes de racines et autres objets mathématiques associés, telles les doubles algèbres affines de Hecke.
Voici, en ordre alphabétique, la liste des invités et le titre de leurs exposés:
George Andrews (Plane partitions and MacMahon's partition analysis), Richard Askey (An inequality of Vietoris and some related hypergeometric sums), Ivan Cherednik (Spherical difference Fourier transform), Charles Dunkl (Intertwining operators and polynomials associated with the symmetric group), Pavel Etingof (Macdonald eigenvalue problem and representations of quantum gl(n)), Roberto Floreanini (Quantum algebras and generalized hypergeometric functions), Adriano Garsia (Polynomiality of the Macdonald q,t-Kostka coefficients: a short proof), Mourad Ismail (Moment problems and orthogonal polynomials), Tom Koornwinder (The A1-tableau of Dunkl-Cherednik operators), Boris Kupershmidt (The great powers of q-calculus), Ian Macdonald (Symmetric and non-symmetric orthogonal polynomials), David Masson (Contiguous relations, continued fractions and orthogonality: a ten year journey up the Askey chart), Willard Miller, Jr. (Tensor products of q-superalgebras and q-series identities), Masatoshi Noumi (Raising operators for Macdonald polynomials), Eric Opdam (Spectral analysis of Hecke algebras), Siddhartha Sahi (Recent results on Jack polynomials and Macdonald polynomials), Dennis Stanton ( q-orthogonal polynomials as moments), Sergei Suslov ([remplacé par R. Askey] Some basic hypergeometric series and q-Bessel functions), Luc Vinet (Creation operators for Macdonald polynomials. Simple and simpler proofs).
N. Atakishiyev, R. Chouikha, P. Floris, A. Grunbaum, K. Kadell, M. Kapilevich, J. LeTourneux,
K. Mimachi, A. Odzijewicz, V. Spiridonov, A. Strasburger, N. Takayama et F. van Diejen présentèrent des communications.
Ian Macdonald a commencé son cours mardi matin et l'a fini mercredi. Dick Askey
a donné une communication supplémentaire d'une
demi-heure, où il a présenté une rétrospective sur les
polynômes d'Askey-Wilson. Tom Koornwinder utilisa du temps, initialement prévu pour les Chudnovsky,
pour discuter du site web de René Swarttouw:
www.can.nl/~demo/CAOP/CAOP.html
qui donne accès à de nombreuses formules et références sur les polynômes apparaissant dans les tableaux
d'Askey (q=1 et q général).
Il y avait approximativement soixante participants; sans compter les membres du CRM qui s'y sont joints, à l'occasion de certaines conférences. À la pause-café et dans les corridors, on parlait anglais, russe, français, japonais, hollandais et polonais! Le temps était des plus agréables avec seulement quelques averses en soirée. L'Université est très bien située, tout près du Mont Royal; le Pavillon André Aisenstadt, dans lequel siège le CRM, est un bâtiment très bien conçu et très bien équipé, avec une vue magnifique sur le nord-ouest de la ville. Entre la première conférence de Ian Macdonald le mardi et la dernière d'Adriano Garsia le samedi, il y a eu une concentration intense de mathématiques de premier niveau. Les participants ont su trouver de l'inspiration pour leurs futures recherches, lors de cet atelier merveilleusement organisé. Tous ont applaudi et remercié les organisateurs pour cet événement excitant.
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29 mai 1998, webmaster@CRM.UMontreal.CA