Le but de cet atelier est de faire un survol de la recherche de pointe sur les approches mathématiques aux neurosciences. Ce domaine excitant, poussé par les succès reliés aux analyses des potentiels d’action neuronaux, du traitement dendritique des signaux et des fondements de l’EEG, fait maintenant usage d'outils de plus en plus sophistiqués des mathématiques appliquées modernes. Ceux-ci comprennent les fonctions d'Evans pour étudier la stabilité et les bifurcations d'ondes dans des modèles de milieu excitable allant des synapses à l’EEG, les cycles hétérocliniques dans les théorie du codage olfactif, la théorie géométrique des perturbations singulières pour comprendre la rhythmogénèse, les équations différentielles stochastiques pour décrire l’effet des sources intrinsèques de bruit neuronal, les approches « spike-density » à l'évolution de l'activité de réseaux, l'analyse faiblement nonlinéaire de formation de patrons, et l'analyse du rôle de canards dans l’organisation de la dynamique neuronale.

Durant l'atelier il sera question de deux nouveaux domaines d'application de ces techniques lors de deux sessions d'une demi-journée chacune, l'une sur l'audition et l'autre sur la maladie de Parkinson et la stimulation cérébrale profonde. Les participants seront donc issus des mathématiques et des sciences expérimentales.

De plus, l'atelier a pour but d'encourager d'autres chercheurs en mathématiques appliquées à se lancer dans ce domaine en pleine ébullition où leur travail peut avoir un impact à la fois sur les neurosciences computationnelles et expérimentales. En fait, un défi majeur pour la communauté des neurosciences mathématiques est d'asseoir toute nouvelle notion de fonction biologique sur une description mathématique claire de la dynamique impliquée. Ceci requerra des études qui vont au-delà des cas mathématiques solubles tels ceux traitant des réseaux neuronaux homogènes et à haute symétrie, ainsi qu'une compréhension du rôle que le bruit, les inhomogénéités, les délais temporels et la rétroaction jouent dans la détermination des états dynamiques des réseaux neuronaux biologiques.

Mathématiques de la maladie de Parkinson et la stimulation des structures profondes du cerveau

La maladie dégénérative de Parkinson (MP) est caractérisée principalement par des manifestations motrices telles la rigidité musculaire, le ralentissement et la perte de mouvement et un tremblement au repos. Bien que le parkinsonisme résulte de la dégénérescence des neurones qui secrètent la dopamine dans le cerveau, à peu près rien d'autre n'a été caractérisé fermement dans cette maladie – et la recherche expérimentale est toujours poursuivie très activement.

Des développements récents ont mis en évidence le rôle important des approches mathématiques, qui sont complémentaires aux études expérimentales. Il est désormais clair que la MP implique un bris de communication entre les réseaux neuronaux dotés d’une architecture non-triviale, et où le tremblement représente une activité spatio-temporelle organisée qui émerge des réseaux dans des conditions pathologiques. Le développement et l'analyse de modèles mathématiques de ces réseaux, utilisant les outils mathématiques pour l'étude de réseaux d'oscillateurs couples, permettra certes d'élucider les mécanismes impliqués et de proposer des solutions correctives. Du côté thérapeutique, les méthodes récentes de stimulation des structures profondes du cerveau (DBS), à l'aide d'électrodes implantées chroniquement qui livrent une stimulation pulsée et continue à haute fréquence, ont un succès foudroyant.

En dépit de sa popularité, il est très surprenant que les mécanismes reliés au succès de cette procédure ne sont pas connus; en outre, elle requiert une stimulation forte et ne fonctionne que sur un sous-ensemble de patients. Des analyses mathématiques récentes ont révélé des origines possibles de ce succès. Des analyses plus poussées portant par exemple sur la caractérisation détaillée des diverses structures cérébrales affectées par la stimulation ou sur la modélisation de l'effet de la stimulation sur les réseaux impliqués, donnent espoir en de nouvelles formes de DBS adaptées à plus grande partie de la population.

Mathématiques de l'audition

Le système auditif attire l'attention de la mathématique appliquée depuis plus de quatre décennies. La disponibilité de données expérimentales provenant de diverses espèces (chat, gerbille, singe, etc…) et notre aptitude à contrôler les signaux d'entrée rendent le système auditif très intéressant à modéliser. Par conséquent, il y a eu une forte interaction entre l'expérience et la théorie. Une autre raison qui rend ce système si intéressant est la grande quantité de données liées aux implants cochléaires où les nerfs sont stimulés directement par des électrodes recevant des signaux traits par des algorithmes mathématiques

Ces prothèses auditives sont néanmoins très rudimentaires, et les patients sont incapables de déchiffrer les signaux utiles de ceux venant d'autres sources, bruyantes ou non. Ces obstacles peuvent seulement être surmontés par des approches théoriques nouvelles qui nous permettrons de comprendre comment les structures du cerveau traitent l'information venant du nerf auditif. Les thèmes majeurs de ce domaine incluent les mathématiques de la détection de signaux neuronaux, l'impact du bruit neuronal, les propriétés mathématiques des populations de neurones qui reçoivent l'activité nerveuse du nerf auditif et le rôle joué par la rétroaction venant des structures supérieures. Ces thèmes seront discutés par les experts invités à cette session.