Survol

Dans son livre majeur, Arbres, amalgames, SL, Jean-Pierre Serre a donné les principes de la théorie des groupes qui agissent sur les arbres simpliciaux. Pendant la décennie suivante, l'approche novatrice de Serre a servi à unifier plusieurs méthodes géométriques, algébriques et combinatoires de la théorie des groupes en un outil puissant que l'on nomme aujourd'hui la théorie de Bass-Serre. Les topologues se sont intéressés aux R-arbres à partir des travaux de Morgan et Shalen (1985), qui généralisent des parties du théorème de géométrisation de Thurston. Un effort conjoint de plusieurs chercheurs aboutit à une description des groupes à un nombre fini de générateurs qui agissent librement sur les R-arbres; ce résultat est maintenant connu sous le nom de théorème de Rips. L'ingrédient fondamental de cette théorie est la machine de Rips, qui provient de l'algorithme de Makanin (ou processus d'élimination) pour résoudre les équations dans les groupes libres.

Les actions sur les R-arbres couvrent toutes les actions archimédiennes, puisque chaque groupe agissant librement sur un λ-arbre (où λ est un groupe abélien ordonné archimédien) agit aussi librement sur un R-arbre. Le cas des actions libres non archimédiennes reste encore à traiter. Bass a étudié les groupes à un nombre fini de générateurs qui agissent librement sur un λ ⊕ Z-arbre, avec l'ordre lexicographique défini sur λ ⊕ Z-arbre. Guirardel a récemment étudié les groupes à un nombre fini de générateurs qui agissent librement sur un R-arbre, toujours avec l'ordre lexicographique sur R. Cependant, le problème principal du programme d'Alperin, Bass et Rips, pour lequel on cherche une description des groupes à un nombre fini de générateurs qui agissent librement sur les λ-arbres, n'a toujours pas de solution générale.

Un des buts principaux de l'atelier est de concentrer l'attention sur les diverses façons d'étudier ce problème. Nous étudierons les relations entre le processus d'élimination de Makanin-Razborov et la dynamique symbolique, en particulier les méthodes de la théorie des échanges d'intervalles. Un autre but de l'atelier est de développer les connexions nouvellement découvertes entre la théorie des groupes agissant sur les arborescences et les systèmes dynamiques. D'une part, les systèmes dynamiques conformes fournissent de nombreux exemples de tels groupes, qui ont des propriétés algébriques, géométriques et spectrales intéressantes. D'autre part, de tels groupes peuvent être utilisés pour définir des systèmes dynamiques conformes possédant une régularité remarquable (au sens géométrique et au sens de la théorie de la mesure). Cette relation peut être démontrée grâce à la théorie des espaces hyperboliques de Gromov.

Mini-cours

Les groupes agissant sur les R-arbres
M. Bestvina (Utah)

Les groupes de branchement
V. Nekrashevich (Texas A&M)

Généralisations de l'hyberbolicité relative
D. Osin (CUNY)