SMS 2011 - Survol
Depuis quelques années, l'étude des espaces métriques mesurés est devenue une source féconde de questions mathématiques intéressantes en soi, en plus d'être un outil indispensable pour attaquer les problèmes classiques en géométrie, topologie, systèmes dynamiques et équations aux dérivées partielles. Le but de l'école d'été 2011 est d'amener les jeunes scientifiques aux frontières de la recherche sur l'analyse et la géométrie des espaces métriques mesurés, par leur participation à une série de mini-cours donnés par des chercheurs de premier plan qui exploreront tant l'aspect avant-gardiste du sujet que les défis qui restent à relever.
En géométrie et topologie, les espaces métriques mesurés se manifestent en tant que limites non lisses d'objets lisses, tels que les variétés riemanniennes. Ici la convergence peut être prise dans le sens de celle de Gromov-Hausdorff, qui permet la formation des singularités et d'effondrement dimensionnel parmi d'autres phénomènes. De telles limites proviennent des processus dynamiques y compris les flots par courbure, tel qu'utilisées dans la démonstration par Perelman de la conjecture de Poincaré et les conjectures de géométrisation sur les variétés de dimension 3. En plus, la limite du volume riemannien normalisé peut ne pas correspondre à la limite du métrique, donc il est naturel d'équiper l'espace métrique qui en résulte d'une mesure limite.
Le plupart des résultats en géométrie s'appuient sur les bornes sur la courbure, par exemple les bornes supérieures sur la courbure sectionnelle ou les bornes inférieures sur la courbure de Ricci. On peut construire des analogues de la courbure sectionnelle dans le cas non lisse en faisant des comparaisons avec des triangles dans les espaces modèles, d'après Cartan, Alexandrov et Topogonov, mais la notion de la courbure de Ricci dans le contexte des espaces métriques mesurés s'est avérée moins évidente. Récemment, deux définitions distinctes des bornes inférieures sur la courbure de Ricci sont nées de la théorie du transport optimal. Les deux définitions respectent la convergence de Gromov-Hausdorff (mesurée) et dépendent de façon décisive de la mesure et la dimension putative (qui peut ne pas s'accorder avec la dimension topologique ou géométrique), ainsi que la dimension métrique. Ces approches très différentes ont conduit à des conclusions frappantes --- y compris les inégalités de Bishop, Myers, Sobolev, log-Sobolev, Talagrand et Poincaré dans le contexte des espaces métriques mesurés, parfois avec les meilleures constantes.
Pour permettre aux étudiants d'apprécier les plus récents développements, l'école d'été apportera une vue d'ensemble de l'évolution de la géométrie et de l'analyse sur les espaces métriques mesurés au cours des dernières années, et d'abordera la question d'importants progrès dans des domaines connexes. Parmi ceux-ci se trouvent des notions de différentiabilité, les espaces fonctionnels (Lipschitz, BV, Sobolev), la mesure et la dimension de Hausdorff, les inégalités fondamentales (Sobolev, Poincaré, isopérimétrique, gaussienne), les estimations de noyau de la chaleur et les aspects probabilistes, la convergence des espaces métriques mesurés, des bornes inférieures sur la courbure de Ricci, de transport optimal, les flots de courbure, les applications quasi conformes et la théorie géométrique de la mesure.
