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méthodes nous fournit de nouveaux outils pour
aborder les phénomènes non linéaires en physique
spécialement ceux décrits par des systèmes
multidimensionnels d'équations aux dérivées partielles (EDP)
et qui n'ont pu être résolus par d'autres méthodes
(par exemple la diffusion inverse). Le programme de
recherche est constitué des 4 projets suivants:
- 1. Symétries conditionnelles pour les systèmes
d'EDP non linéaires.
- 2. Une comparaison entre les différentes méthodes
de groupe de Lie servant à solutionner les EDP.
- 3. Solutions invariantes et partiellement
invariantes des équations de Navier-Stokes.
- 4. Les ondes de Riemann multiples pour les
systèmes quasilinéaires d'EDP et les relations avec la
méthode de réduction par symétries.
Systèmes intégrables,
déformations isomonodromiques et fonctions modulaires
John Harnad
Pendant l'année passée, deux projets en
collaboration étaient réalisés. L'un, en association avec A.
Its de l'Université d'Indiana, portait sur les
déterminants de certains opérateurs intégrales de Fredholm de
types «intégrables», le problème de
Riemann-Hilbert matriciels et les déformations isomonodromiques.
On a démontré que ce type de déterminant de
Fredholm était la fonction tau d'une classe de déformations
isomonodromiques d'un opérateur de dérivation
covariant sur la sphère de Riemann méromorphe.
Dans un autre projet, en collaboration avec J. McKay, on
a déduit les solutions à une classe de systèmes
différentiels généralisant le système de Halphen, avec les
solutions générales données en termes de certaines
fonctions modulaires uniformisant des surfaces de
Riemann de jauge zéro.
Géométrie et physique
Jacques Hurtubise
Les travaux de Jacques Hurtubise dans
l'année 1997-98 ont porté sur plusieurs sujets. Dans le
premier sujet, celui des théorèmes de stabilité pour les
espaces de modules d'applications holomorphes de
courbes dans des variétés complexes, un long article a été
terminé au début de la période, et a été soumis. Un
autre projet, conjoint avec E. Markman, porte sur la
classification de systèmes algébriquement intégrables
dont les tores lagrangiens sont des variés de Prym. Avec
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une étudiante (M. Kjiri), il a généralisé une
construction antérieure pour des coordonnées séparantes
pour les systèmes de Hitchin généralisés, ce qui donne
ces coordonnées, entre autres, pour les systèmes à
matrice r trigonométriques ou elliptiques. Finalement,
un projet conjoint avec Lisa Jeffrey sur les liens entre
les espaces de modules de fibrés sur des surfaces de
Riemann et les variétés toriques a porté fruit,
donnant lieu à une nouvelle classe d'objets holomorphes
sur une surface de Riemann, les fibrés avec
trivialisation parabolique.
Supersymétrie
Véronique Hussin
Au cours des vingt dernières années, le cadre
de la théorie des groupes et algèbres de Lie a été
étendu dans plusieurs directions. On pense notamment
aux théories supersymétriques sous-tendues par les
notions de supergroupes et superalgèbres de Lie.
Dans ce cadre, on traite d'une description unifiée
d'objets fermioniques et bosoniques qui nécessite de
travailler avec des variables commutatives et
anticommutatives. Le problème de résoudre des équations
différentielles non linéaires avec de telles variables est
une question intéressante qui a été abordée par V.
Hussin, en collaboration avec A. Ayari et P. Winternitz. De
nouvelles solutions supersolitoniques ont été obtenues
en généralisant la méthode de réduction par
symétries dans ce contexte.
Un autre aspect de la recherche de V. Hussin
traite de la construction d'états minimaux d'incertitude
en termes d'états dits «cohérents» ou «comprimés»
pour des systèmes quantiques supersymétriques. On
utilise pour cela de nouvelles relations impliquant
les états propres d'opérateurs d'annihilation associés à
des oscillateurs harmoniques et anharmoniques
ainsi qu'au modèle de Jaynes-Cummings important
en optique quantique.
Géométrie des équations aux
dérivées partielles/systèmes
quasi-exactement résolubles
Niky Kamran
Le programme de recherches de Niky
Kamran comporte deux axes principaux. D'une part, il vise
à étudier les rapports géométriques qui existent
entre les diverses propriétés d'intégrabilité géométrique
et l'existence de lois de conservation pour les
équations aux dérivées partielles en dimensions m 3. D'autre
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