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de Korteweg-de Vries (KdV) à un système de
deux équations différentielles couplées et intégrables
(Mathieu). Sachant que le concept de supersymétrie
peut être lui-même étendu [para-supersymétrie et
supersymétrie fractionnaire (Durand, Vinet)], il est
alors naturel de chercher des généralisations à des
systèmes intégrables impliquant plusieurs équations
différentielles couplées. Or, le formalisme de
super-espace fractionnaire (Durand) permet naturellement
une telle généralisation. Ce résultat est établi en
utilisant l'extension fractionnaire de la notion de
supersymétrie, la structure hamiltonienne de la
mécanique pseudo-classique fractionnaire, ainsi que la
généralisation fractionnaire de la superalgèbre de Virasoro
(et/ou ses q-déformations).
Changement de variables dans les intégrales multiples
Isidore Fleischer
Le changement de variables dans les
intégrales multiples est un moyen fort utile et pour les
besoins d'évaluer des intégrales et pour des besoins
théoriques. Le théorème qui le justifie est énoncé
d'habitude en exigeant que la transformation soit
continûment dérivable et injective. Néanmoins, des
travaux récents ont réussi à alléger ces hypothèses, par
exemple en enlevant de la dérivée sa continuité.
L'étude vise à pousser ce nettoyage plus loin.
Théorie des points critiques pour des fonctionnelles multivoques
Marlène Frigon
Les recherches de Marlène Frigon portent
principalement sur trois volets:
La théorie des points critiques et
l'analyse multivoque (incluant les inclusions différentielles)
sont deux domaines très actifs des mathématiques.
Jusqu'à maintenant, ces deux derniers n'avaient pour ainsi
dire aucune intersection. Marlène Frigon a introduit
quelques fondements d'une théorie des points
critiques pour des fonctionnelles multivoques. Quoiqu'elle
n'en soit qu'à ses débuts, cette théorie semble très
prometteuse. Elle ouvre la porte à de nombreuses
applications aux inclusions différentielles et à la théorie
du contrôle.
En collaboration avec D. O'Regan de
l'Université Galway en Irlande, Marlène Frigon étudie les
équations différentielles avec impulsions, c'est-à-dire
des équations différentielles dont les solutions doivent
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subir des impulsions à des moments fixes ou
variables. Concrètement, la trajectoire d'une fusée dont
certaines parties se détachent, ou la quantité de sucre
dans le sang lorsqu'on considère l'injection d'insuline,
en sont des exemples. Leurs travaux s'inscrivent dans
un projet plus vaste sur les équations différentielles
avec impulsions ayant obtenu l'appui de L'INTAS
(international association for the promotion of
co-operation with scientists from the new independent states of
the former Soviet Union) et dont le directeur est le
Professeur Rogovchenko de l'Académie Nationale des
Sciences d'Ukraine.
Un autre volet des recherches de Marlène
Frigon porte sur les résultats d'existence et d'unicité de
points fixes d'applications contractantes ou non
expansives, univoques ou multivoques.
Méthodes statistiques et télédétection
Bernard Goulard
Bernard Goulard, en collaboration avec J-M.
Lina et P. Turcotte, étend à la télédétection des
méthodes statistiques mises au point pour le monitoring à
distance et la classification de régimes de réacteurs
nucléaires. Lors de ce travail, dédié à des quantités
scalaires (pression, température), les propriétés de
certaines des fonctions utilisées (en particulier les
«ondelettes») ont été explorées lorsque l'on passe de
une à deux dimensions, ce qui a conduit à l'imagerie
(surfaces à deux dimensions). Il s'agit donc d'adapter
les méthodes statistiques à l'extraction de
caractéristiques et à la détection d'anomalies en imagerie, gardant
à l'esprit les applications dans plusieurs domaines
(surveillance environnementale, etc.). La classification
des pixels, la définition de la frontière entre
différentes surfaces (par exemple herbe et forêt), et
l'identification d'anomalies sont donc étudiées au moyen de
techniques statistiques basées sur une
représentation multi-échelle à valeurs complexes de l'image.
Symétries et solutions des systèmes non linéaires
Alfred Michel Grundland
Au cours des dernières années, les recherches
de Michel Grundland, portent sur les méthodes de
réduction par symétries (MRS) ainsi que sur la
méthode des invariants de Riemann (MRI) et leurs
applications aux équations de la théorie des champs non
linéaires, à la physique de la matière condensée ainsi qu'à
la dynamique des fluides. Le développement de ces
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