Programmes de recherche

Ondelettes
Twareque Ali

Au cours de la période de juin 1997 à mai 1998, les travaux scientifiques de Twareque Ali furent concentrés dans deux domaines:

• · Travail sur le manuscrit d'un livre intitulé «Coherent States, Wavelets and their Generalizations», écrit en collaboration avec J.-P. Antoine (Louvain-la-Neuve) et J.-P. Gazeau (Paris VII). Le manuscrit est maintenant complété et le livre sera publié par Springer Verlag.
• · Poursuite des travaux précédents sur les représentations de carré intégrable de groupes et de leur utilisation pour la construction de transformées de type ondelette. Dans ce domaine, un certain nombre de nouveaux résultats ont été obtenus pour déterminer si les représentations induites de groupes du genre produit semi-direct sont de carré intégrable. Les résultats peuvent être immédiatement appliqués à la construction de transformées d'ondelettes discrètes ou continues qui apparaissent dans des configurations variées de signaux en deux et trois dimensions. Plus récemment, de nouveaux résultats sur la construction de distributions de Wigner dans des espaces de phase ont été obtenus. Les résultats permettent de construire des distributions du type Wigner pour n'importe quelle représentation de carré intégrable d'un groupe compact. De telles fonctions sont utilisées dans l'analyse de signaux optiques quand la géométrie du problème admet un espace de phase, c'est-à-dire une structure symplectique.

Chaînes de Markov avec états généraux et paramètre de temps discret
William Anderson

Depuis cinq ans, William Anderson travaille à plein temps sur une monographie sur les chaînes de Markov avec états généraux et paramètre de temps discret. Cette théorie a connu de nombreux progrès tout récemment, principalement à la suite de la construction de chaîne scindée développée par Athreya, McDonald et Ney (1978) et Nummelin (1983). Depuis six ans, cette théorie a été centrale à l'étude des Chaînes de Markov Monte Carlo (CMMC), principalement pour l'étude des taux de convergence.

Le long du parcours, un grand nombre de problèmes de recherche ont été identifiés. Entre autres, le théorème ergodique d'Ionesco Tulcea et de Marinescu a été obtenu de la décomposition de deLeeuw-Glickstein pour les espaces de Banach. Ceci a mené à son tour à une version convergence-faible de ce théorème ergodique. Puisque Sine a récemment obtenu les résultats standards sur les opérateurs de Markov avec constriction forte et faible de cette même décomposition de deLeeuw-Glickstein, ceci place cette décomposition au centre de la théorie de convergence des chaînes de Markov. Un traitement abrégée et plus conventionnelle a aussi été dérivée de la propriété de quasi-constriction, telle que développée par plusieurs auteurs et recensée par Komornik (1993). En plus, des méthodes de couplage ont aussi été développées pour des chaînes de Markov avec états généraux et paramètre de temps discret, qui mèneront peut-être à des nouveaux résultats sur la convergence. Après quelques recherches supplémentaires, des articles seront soumis bientôt.

Méthodes numériques en mécanique des fluides et en aérodynamique
Paul Arminjon

P. Arminjon travaille sur les méthodes numériques en mécanique des fluides. Avec A. Dervieux, il construit et analyse des méthodes de volumes/éléments finis non oscillatoires et préservant la positivité pour les systèmes hyperboliques non linéaires et les écoulements compressibles.

Avec M.C. Viallon, il a construit une méthode de volumes finis pour triangulations duales décalées et non structurées, inspirée des schémas unidimensionnels de Lax-Friedrichs et Nessyahu-Tadmor; ils ont démontré la convergence de la méthode pour une équation hyperbolique linéaire, et achèvent le cas non linéaire.

Avec D. Stanescu, il a généralisé ces schémas à une méthode de volumes finis pour maillages cartésiens, et avec A. Madrane, il a construit et appliqué la méthode triangulaire à des écoulements aérodynamiques; une comparaison avec d'autres méthodes a montré la précision et l'économie en temps de calcul de la méthode qui capte bien les ondes de choc. Avec A. Madrane, il a construit une méthode mixte volumes/éléments finis pour les équations de Navier-Sto