Survol

posterLa théorie des systèmes dynamiques décrit les caractéristiques quantitatives et qualitatives de solutions de systèmes d'équations différentielles non linéaires modélisant typiquement des processus qui évoluent dans le temps. Cette théorie tire ses racines dans les applications comme par exemple les travaux de Poincaré sur le mouvement des planètes au 19ème siècle, les simulations de Fermi-Pasta-Ulam de réseaux anharmoniques dans les années 50, et les équations de Lorenz (1963) qui sont apparues originellement comme un modèle très simplifié de convection de Rayleigh-Bénard. Une théorie profonde et élégante des systèmes dynamiques en a résultées. Cependant les systèmes dynamiques qui apparaissent en pratique sortent souvent du cadre de cette théorie, soit parce qu'ils contiennent des généralisations du paradigme des systèmes dynamiques, tels que les retards variables ou dépendent de l'état ou même avec arguments avancés ou tout simplement parce que les hypothèses ou les conditions de la théorie ne s'appliquent pas. Par exemple, en dynamique du chaos, originellement beaucoup de travaux dépendaient de l'hypothèse d'hyperbolicité uniforme. Hélas, même les équations de Lorenz, parmi les plus simples et les plus étudiées font apparaître des comportements chaotiques qui ne vérifient pas cette propriété. Ainsi c'est seulement en 2002, que Tucker a établi que le système admet un attracteur étrange.

 

Malgré les difficultés, des progrès significatifs ont été effectués ces dernières années, dans les applications des systèmes dynamiques en particulier en biologie mathématiques, et en physiologie. Ceci a mené à un intérêt croissant pour de nouveaux problèmes tels que ceux en rapport avec des retards non-constants  et distribués, ce qui par la même a introduit de nouveaux défis numériques et analytiques. Ainsi on choisit de se concentrer sur deux thèmes principaux durant ce semestre thématique. D'abord, on s'intéresse aux systèmes dynamiques appliqués principalement à la physiologie et ensuite au développement de nouveaux outils numériques et analytiques pour l'étude de tels systèmes. Ces deux thèmes seront traités par une série d'ateliers et de cours. Cependant, le champ des systèmes dynamiques appliqués est trop vaste pour être traité en un seul semestre thématique, et tel ne sera donc pas l'objectif. Des ateliers en neuroscience mathématique, sur les réseaux biochimiques, feront apparaître des applications en physiologie. Des ateliers sur les algorithmes d'analyse des bifurcations et les équations différentielles fonctionnelles couvriront les techniques numériques pour les systèmes dynamiques. Des ateliers sur les équations différentielles fonctionnelles et systèmes hamiltoniennes aborderont également des questions théoriques sur des systèmes dynamiques appliqués. Cependant, dans les applications réelles, analyse et méthodes numériques sont étroitement liées et ces aspects seront donc traités dans chacun des ateliers. De nombreux temps libres permettront des échanges et discussions scientifiques plus informelles, qui favoriseront nous l'espérons, de nouvelles collaborations.  Cet atelier réunira de jeunes chercheurs, des chercheurs renommés, et bien-entendu la participation des étudiants gradués et post-doctorants est vivement encouragée. Des mini-cours avancés abordables par des étudiants gradués, seront également offerts.