Année thématique 2003-2004

Analyse géométrique et spectrale
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Nous remercions The National Science Foundation (NSF) side son appui (NSF grant DMS-0339017).

 

Comité organisateur

E. Bierstone (Toronto), W. Craig (McMaster), F. Finster (Regensburg), D. Jakobson (McGill), V. Jaksic (McGill), N. Kamran (McGill), Y. Last (Hebrew), R. Melrose (MIT), P. Milman (Toronto), C. Pillet (CPT-Toulon), D.H. Phong (Columbia), I. Polterovich (Montréal), J. Toth (McGill), S. Zelditch (Johns Hopkins).

 

Survol

L'analyse se retrouve traditionnellement au centre d'une foule d'activités de recherche en mathématiques. En particulier, les domaines de l'analyse spectrale et de l'analyse géométrique ont joué un rôle fondamental dans l'élaboration des thèmes majeurs de la recherche contemporaine en géométrie différentielle et en mathématique physique et se répercutent maintenant en théorie des nombres et en géométrie algébrique. Ils sont, en effet, au cœur des développements les plus spectaculaires et les plus profonds des années récentes dans ces domaines.

 

L'année thématique en analyse géométrique et spectrale portera sur une série de thèmes pour lesquels cette interaction a été ou promet d'être particulièrement fructueuse. L'année est organisée autour de deux thèmes connexes : le premier, dont les divers sous-thèmes sont répartis tout au long de l'année thématique, cible diverses questions en analyse spectrale; il est constitué principalement d'un programme court portant sur l'analyse des espaces singuliers, ainsi que d'une période de concentration plus longue sur l'analyse spectrale en géométrie différentielle, en mathématique physique et en théorie des nombres. Le deuxième thème portera sur l'analyse des équations d'Einstein, au sujet desquelles des progrès spectaculaires ont été réalisés ces dernières années. Il sera concentré à l'automne 2003.

 

Ces différents thèmes ont été choisis pour maintenir un équilibre entre les composantes géométriques et spectrales du programme et pour mettre en valeur quelques-unes des applications les plus intéressantes d'idées analytiques en physique.

 

L'accent sera mis sur la formation grâce aux cours d'introduction qui précéderont les ateliers. En plus, les cours de cycles supérieurs en analyse et en géométrie dans les universités montréalaises seront coordonnés avec le programme.

 

Chaires Aisenstadt

Il y aura deux détenteurs de la chaire cette année: P. Sarnak (Princeton) et S. T. Yau (Harvard).

 

Programme court sur l'analyse et la résolution de singularités

18 août - 5 septembre 2003

 

Organisateurs: E. Bierstone (Toronto), R. Melrose (MIT), P. Milman (Toronto), D.H. Phong (Columbia).

 

Des méthodes effectives de résolution de singularités occupent maintenant une place centrale dans toute une génération moderne de problèmes en analyse et géométrie. On peut citer la théorie spectrale et la théorie de Hodge pour les variétés algébriques, la stabilité d'intégrales oscillantes, l'existence de métriques de Kähler-Einstein, des versions fines des inégalités de Moser-Trudinger. La diversité même des problèmes gêne la communication entre chercheurs. Ce programme réunira des experts en résolution de singularités, géométrie différentielle complexe, analyse réelle et équations aux dérivées partielles.

 

Première semaine : Atelier sur les intégrales oscillatoires et les exposants critiques d'intégrabilité

 

Les sujets couverts comprennent la dégénérescence de fonctions holomorphes à plusieurs variables, les distributions de Legendre et les faisceaux d'idéaux multiplicateurs.

 

Deuxième semaine : Cours

 

La deuxième semaine comprendra trois mini-cours :

  • Les méthodes effectives de résolution de singularités — algorithmes de désingularisation, exemples concrets, avec applications en géométrie et analyse.
  • Questions de stabilité en analyse réelle et complexe par exemple, formes stables de la méthode de phase stationnaire, stabilité d'exposants d'intégrabilité critiques, conditions de chaîne ascendantes, problèmes de stabilité pour des opérateurs intégraux de Fourier dégénérés.
  • Éclatement réel et complexe, résolution de métriques, espaces de configuration et algèbres de Lie de champs de vecteurs, menant à une description de formes harmoniques et la cohomologie L2 de divers espaces singuliers.

 

Troisième semaine : Atelier sur la résolution de singularités, les métriques et le Laplacien

 

Le théorème de Hodge qui décrit les formes harmoniques sur une variété algébrique lisse et les relie à la cohomologie, a eu un impact énorme sur la géométrie différentielle et algébrique, ainsi que sur l'analyse différentielle. Pour le cas plus général d'une variété algébrique singulière, la description des formes harmoniques reste essentiellement ouverte, bien qu'on ait formulé des conjectures substantielles. Une approche qui passe par la résolution de singularités dépend d'une compréhension du comportement de la métrique canonique de Fubini-Study lors d'une résolution. L'atelier rassemblera les chercheurs intéressés aux questions géométriques, algébriques et analytiques liées à ces questions.

 

Atelier sur le problème de Cauchy pour les équations d'Einstein

24 - 28 septembre 2003

 

Organisateurs: F. Finster (Regensburg), N. Kamran (McGill)

 

Le problème de Cauchy en relativité générale a vu un nombre de percées importantes depuis quelques années. Ces percées comprennent la preuve de la stabilité non-linéaire de l'espace de Minkowski, la preuve de la conjecture de Penrose riemannienne et la description rigoureuse du comportement à l'infini de données de Cauchy admissibles. Cet atelier réunira plusieurs des acteurs principaux dans ce développement, avec une perspective sur les problèmes ouverts.

 

L'atelier débute par une journée de cours donnés par A. Ashtekar (Penn State)
et G. Huisken (MPI Golm). 

 

 

Atelier sur les interactions de la gravitation avec des champs externes

1 - 5 octobre 2003

 

Organisateurs: F. Finster (Regensburg), N. Kamran (McGill).

 

L'interaction de la gravitation avec des champs externes est régie par des systèmes d'équations aux dérivées partielles fortement couplés. L'analyse de ces systèmes mène à des résultats surprenants sur le rôle des champs externes dans la dynamique de l'effondrement gravitationnel et de la formation de singularités.

 

L'atelier débute par une journée de mini-cours donnés par J. Smoller (Michigan). L'atelier comprendra aussi les conférences de la Chaire Aisenstadt prononcées par S.T. Yau (Harvard).

 

 

Atelier sur les limites grand N de la théorie de jauge U(N) en physique et en mathématiques

5 - 9 janvier 2004

 

Organisateurs: P. Bleher (IUPUI), V. Kazakov (École Normale) et S. Zelditch (Johns Hopkins)

 

Cet atelier est voué à l'étude du développement asymptotique N grand en théorie quantique des champs, en particulier dans le contexte explicitement résoluble à deux dimensions. Pendant les années 90, une série d'articles des physiciens tels que D. J. Gross, W. Taylor, G. Matytsin, M. Douglas, V. Kazakov, et G. Moore, ont produit une série de développements asymptotiques pour des objets de la théorie de Yang-Mills en dimension deux avec groupe de jauge U(N), telles que la fonction de partition d'une surface fermée de genre g, la fonction de partition d'un cylindre, l'espérance de la fonctionnelle de Wilson, ainsi que pour certains caractères cR(U). Ces quantités sont reliées à des traces et autres invariants de noyaux de la chaleur et à des volumes et des traces sur des espaces de modules de connexions plates. Les développements asymptotiques des fonctions de partition sont régis par la statistique de revêtements de surfaces avec points de branchement. Parmi les sujets de la conférence, on retrouve:

  • Les développements asymptotiques de Matytsin pour les caractères cR(U), démontrés récemment par A.Guionnet et O. Zeitouni
  • La transition de phase de Kazakov-Douglas pour g = 0, démontrée récemment par A. Boutet de Monvel et M. Shcherbina
  • La formule à la limite de Zelditch pour la fonction de partition du cylindre
  • La statistique de revêtements de surfaces avec points de branchement (intégrales sur des espaces de Hurwitz)
  • Intégrales de volumes et de traces sur des espaces de modules de connexions plates
  • La limite grand N d'objets de SN
  • Relations entre la limite grand N de la théorie YM2 et les modèles de matrices aléatoires
  • Relations avec la probabilité libre
  • Les travaux récents de Dijkgraaf-Vafa.

 

 

Atelier sur la géométrie spectrale

4 - 6 mars 2004

 

Organisateur: Iosif Polterovich (Montréal)

 

Les relations entre les propriétés géométriques de variétés et le spectre du Laplacien sont des objets d'étude depuis plusieurs décennies. Il est bien connu que plusieurs invariants sont déterminés par le spectre, et inversement, le comportement du spectre dépend fortement de la géométrie et de la topologie sous-jacente. Néanmoins, notre compréhension de cette interaction entre géométrie et spectre est loin d'être complète. Au cours des années récentes des développements majeurs ont eu lieu dans différents domaines de la géométrie spectrale tels que les développements asymptotiques, les estimés de valeurs propres, l'isospectralité et d'autres. Ces problèmes et leurs applications seront le sujet de cet atelier.

 

Atelier AARMS-CRM sur les opérateurs intégraux singuliers et les variétés de type CR

3 - 8 mai 2004


Organisateurs: Galia Dafni (Concordia), Andrea Fraser (Dalhousie)

La théorie des opérateurs intégraux singuliers dans le contexte de sous-variétés de type CR de Cn, en particulier du groupe de Heisenberg, a été un sujet d’étude des plus fructueux au cours des dernières trente années. Plus récemment, l’emphase s’est déplacée du côté des opérateurs intégraux singuliers qui ne s'insèrent pas dans la théorie standard de Calderon-Zygmund. Ces opérateurs comprennent ceux obtenus de noyaux produits sur des groupes de Lie nilpotents, ce qui mène aussi à l’étude de noyaux associés à des drapeaux. L’atelier se situe donc à une interface de l'analyse harmonique, de l'analyse des fonctions complexes à plusieurs variables, des espaces symétriques et des groupes de Lie. Il comprendra deux séries de cours donnés par Alexander Nagel (Wisconsin) et Elias M. Stein (Princeton). L’atelier se tiendra à Halifax (Nouvelle-Écosse).

 

 

Atelier sur la théorie spectrale et formes automorphes

3 - 8 mai 2004

 

Organisateurs: D. Jakobson (McGill), Y. Petridis (CUNY)

 

Les questions étudiées sur les familles de fonctions L comprennent la distribution de zéros et l'hypothèse de Riemann généralisée, les distributions de valeurs, les valeurs spéciales ainsi que les liens à des questions arithmétiques telles que la distribution des nombres premiers, la taille des groupes de classe, les rangs analytiques et les courbes elliptiques. Une des approches les plus fructueuses à l'étude des propriétés statistiques des zéros de fonctions L passent par des liens à la théorie des matrices aléatoires.

 

Cet atelier réunira des experts de ce domaine important des mathématiques à la frontière de la théorie des nombres et de l'analyse.

 

L'atelier coïncidera avec la série de conférences de la Chaire Aisenstadt, le professeur Peter Sarnak.

Atelier sur les systèmes dynamiques hamiltoniens
(en collaboration avec le Fields Institute)

24 - 28 mai 2004

Comité organisateur: D. Bambusi (Milano), W. Craig (McMaster), S. Kuksin (Edinburgh), C.E. Wayne (Boston), E. Zehnder (ETH-Zentrum)

Conférence sur les techniques analytiques des systèmes dynamiques dont la théorie des perturbations, les méthodes variationnelles et la théorie de la stabilité. L'atelier couvre les systèmes hamiltoniens de dimension finie comme ceux de la mécanique céleste et les systèmes de dimension infinie, tels que ceux provenant des EDP ou d'autres systèmes dynamiques avec un nombre infini de degrés de liberté. Cet atelier fait partie du programme thématique 2003-2004 de l'Institut Fields et succède à un atelier sur les EDP Hamiltoniennes intégrables et presque intégrables, tenu la semaine qui précède à Toronto.

 

 

Atelier sur la théorie semi-classique des fonctions propres et équations aux dérivées partielles

1 - 11 juin 2004

 

Organisateurs: D. Jakobson (McGill), J. Toth (McGill)

 

Un grand nombre de questions en chaos quantique sont motivées par le principe de correspondance en mécanique quantique. Ce principe dit que certaines propriétés classiques d'un système se manifestent dans le comportement semi-classique (quand la constante de Planck tend vers zéro) d'une quantification du système classique. La relation exacte entre la dynamique classique et les propriétés asymptotiques des états propres à haute énergie de la quantification n'est pas encore complètement comprise, malgré des développements majeurs au cours des vingt dernières années. Ces questions comprennent l'existence et la valeur de bornes asymptotiques pour les fonctions propres des termes d'erreur de Weyl sous leur forme ponctuelle et sous leur forme intégrée et les phénomènes de « cicatrices ». Une autre question fondamentale se rapporte aux propriétés statistiques globales et locales de fonctions propres, leurs noeuds et leurs points critiques. L'étude de ces questions s'appuie de façon sensible sur la théorie des équations aux dérivées partielles et l'atelier réunira des experts de ces domaines.

 

L'atelier comprendra plusieurs mini-cours. Harold Donnelly (Purdue) (*), Nikolai Nadirashvili (Chicago) et David Jerison (M.I.T.) (*) ont été invités à les prononcer.

 

 

 

Atelier sur la théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger

26 - 30 juillet 2004

 

Organisateurs: V. Jaksic (McGill), Y. Last (Hebrew)

 

Cet atelier ciblera la théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger aléatoires et quasi-périodiques. En physique du solide, les opérateurs de Schrödinger aléatoires et quasi-périodiques sont des modèles de systèmes désordonnés tels que les alliages, les verres et les matériaux amorphes. Le désordre du système se reflète par la dépendance du potentiel de paramètres aléatoires.

 

D'un point de vue mathématique, les opérateurs de Schrödinger aléatoires ont un comportement assez remarquable. Si le système est suffisamment désordonné, les opérateurs ont un spectre ponctuel dense, avec des fonctions propres à décroissance exponentielle (localisation d'Anderson). Ces spectres denses reflètent le fait que du point de vue physique, les systèmes fortement désordonnés sont de mauvais conducteurs. On pense que dans le régime légèrement désordonné et en dimension plus grande que deux, ces opérateurs ont un spectre qui en partie est absolument continu, qui correspond à la conductivité non nulle du système. La preuve mathématique de cette transition de phase dans le spectre (délocalisation d'Anderson) est un problème fondamental en mathématique physique.

 

Cet atelier réunira les experts mondiaux du domaine dans le but de faire le point sur l'état de l'art et de définir de nouvelles orientations.

 

Le programme comprend des mini-cours de M. Aizenman (Princeton), B. Simon (Caltech) (*) et S. Jitomirskaya (Irvine). L'atelier se tient en conjonction avec celui qui suit et plusieurs participants seront présents aux deux ateliers.

 

 

Atelier sur la dynamique en mécanique statistique

2 - 6 août 2004

 

Organisateurs: V. Jaksic (McGill), C.-A. Pillet (Toulon)

 

Au fil des dernières années, des efforts substantiels ont été voués à l'étude de systèmes ouverts à la fois classiques et quantiques. Notre compréhension de la structure mathématique de la mécanique statistique loin de l'équilibre a été grandement améliorée en particulier par l'étude de systèmes bruités avec dissipation et forçage ou par l'étude de systèmes Hamiltoniens à grand nombre de degrés de liberté. Le but de cet atelier est de présenter les résultats les plus récents et de discuter les directions possibles de la recherche à venir, avec une emphase sur les sujets suivants:

  • Approches axiomatiques: sous des hypothèses appropriées à propos des propriétés ergodiques du système dynamique sous-jacent (hypothèses de chaos, caractère abélien asymptotique, etc.), il est possible de démontrer plusieurs propriétés de la thermodynamique loin de l'équilibre (réponse linéaire, formule de Kubo, relations d'Onsager, etc.). Cette approche conduit à des résultats inattendus tels que le théorème de fluctuation de Gallavotti-Cohen.

 

  • Modèles spécifiques: les techniques modernes telles que la théorie quantique des champs, les systèmes dynamiques quantiques algébriques, l'analyse spectrale ou le groupe de renormalisation ont été appliquées avec succès à l'étude de divers modèles (spin-boson, spin-fermion, Pauli-Fierz, gaz de Lorentz, etc.). Les propriétés physiques élémentaires telles que le retour à l'équilibre, l'existence et la structure de base des états stables loin de l'équilibre ont été obtenus par ces méthodes. Des questions plus difficiles telles que l'émergence de la loi de Fourier, font maintenant l'objet de recherches.

 

  • Dynamique markovienne: cette technique donne un cadre mathématique naturel pour étudier la dynamique de divers processus loin de l'équilibre - processus Hamiltoniens couplés à un réservoir, processus d'exclusion sur un réseau, systèmes étendus bruités.

 

Le programme comprend des mini-cours donnés par H. Araki (Kyoto), B. Derrida (École Normale), J. Froehlich (ETH), J.-P. Eckmann (Geneva) (*). L'atelier se tient en conjonction avec celui qui précède et plusieurs personnes participeront au deux.

 

Cours

Plusieurs cours avancés seront offerts dans le cadre de l'année thématique:

 

 

Ceux qui désirent participer à ces activités sont priés d'écrire à:

Louis Pelletier
Centre de recherches mathématiques (CRM)
Université de Montréal
C.P. 6128, Succursale Centre-ville
Montréal (Québec)
CANADA H3C 3J7
 
Courriel: ACTIVITES@CRM.UMontreal.CA


* Crédits: L'image «Trichaotic» est reproduite grâce à son auteur Eric J. Heller. L'oeuvre du Professeur Heller interprétant des phénomènes physiques feront l'objet d'une exposition à Montréal durant l'année thématique. Les personnes intéressées peuvent aussi consulter www.ericjhellergallery.com

Le 27 janvier 2004
webmestre@CRM.UMontreal.CA