Survol

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La théorie de la catégorification et de représentation géométrique sont deux des branches les plus actives et intéressantes de la théorie de représentation moderne et elles augmentent graduellement leur importance dans le domaine. Ces approches ont mené à l'introduction de nouveaux et puissants outils et à une compréhension plus approfondie des structures sous-jacentes. Au contraire, la théorie de représentation a été utilisée comme outil organisationnel et informatique en géométrie et en théorie des catégories menant par exemple, à de puissants nouveaux invariants en géométrie et topologie. Il est devenu de plus en plus clair que la catégorification est un large phénomène mathématique avec de vastes applications. Par exemple, la compréhension de la théorie de représentation catégorique des algèbres de Lie affines a mené à la preuve de la conjecture de Broué pour les groupes symétriques, un constat de représentation purement théorique. de façon générale, la catégorification de tels objets mathématiques en tant que groupes quantiques et algèbres de Hecke a fourni une nouvelle compréhension de la structure des objets de base et leur théorie de représentation.

Plusieurs concepts en catégorification sont reliés aux méthodes géométriques en théorie de représentation. En fait, la géométrisation (la réalisation géométrique de certaine structure algébrique) est souvent précurseur à la catégorisation. Par exemple, les constructions de bases naturelles (tel que les bases canoniques dans les groupes quantiques ou les bases de Kazhdan-Lusztig dans les algèbres de Hecke) avec des propriétés positives et d'intégralité sont une partie centrale de la théorie de représentation géométrique. Les catégorifications suggérées par de telles construction géométriques fournissent des explications riches sur l'existence de ces bases. Ce domaine progresse rapidement et donne des résultats intéressants tels que le progrès sur les cas spéciaux de la conjecture de Lusztig, les nouveaux résultats de la théorie de représentation des algèbres de Cherednik, l'identification des classification de Koszul sur les algèbres de Schur et le progrès sur les catégorifications impaires.