MAT 3431

Introduction à la théorie de l'optimisation

Département de mathématiques et de statistique
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Professeur et ses coordonnées

Michel Delfour           Bureau 5151, pavillon André-Aisenstadt
Téléphone                   514-343-7265
courriel                        delfour@dms.umontreal.ca
toile                             http://www.dms.umontreal.ca/~delfour/
disponibilité                mardi  à partir de 14h30 et vendredi de 10h30
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Heures et lieux du cours

mardi               13h30-14h30   local  1411       pavillon André-Aisenstadt
vendredi            8h30-10h30   local  1411       pavillon André-Aisenstadt

Relâche 22-28 octobre 2007

Dernier cours  mardi  7 décembre 2007

Intra                 vendredi 19 octobre 2005 8h30-10h30
                        1411    pavillon André-Aisenstadt

Examen final   vendredi  14 décembre 2007     8h30-11h30
                        1411    pavillon André-Aisenstadt
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Adoption du barème:  mardi 11 septembre 2007
Quiz 1             10%     vendredi 28 septembre 2007   à remettre
Intra                 30%     vendredi 19 octobre 2007        2 heures
Quiz 2             10%     vendredi 23 novembre 2007    à remettre
Final                50%     vendredi  14 décembre 2007     3 heures
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Notes de cours

M. Delfour, Introduction à la théorie de l'optimisation, 1 septembre 2007 (219+x pages)
- distribuées aux étudiant(e)s inscrit(e)s
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Plan du cours

Il correspond à la table des matières des notes de cours.

Chapter 1. Minimisation d'une fonction numérique : existence et unicité

            1. Introduction
                        1.1. Quelques définitions et notations
           2. Rappel du théorème de Weierstrass
           3. Semi-continuité
           4. Existence d'un point minimisant
           5. Ensemble des points minimisants
                        5.1. Propriétés : fermeture, compacité et convexité
                        5.2. Stricte convexité et unicité
            6. Exercices sur le Chapitre 1
 

Chaptitre 2. Semi-dérivabilité, dérivabilité, continuité et convexité

            1. Introduction
            2. Fonction numérique d'une variable réelle
                        2.1. Continuité des fonctions dérivables
                        2.2. Théorème de la moyenne
                        2.3. Propriété de la dérivée d'une fonction dérivable partout
                        2.4. Théorème de Taylor
            3. Fonction numérique de plusieurs variables réelles
                        3.1. Semi-dérivées directionnelles et dérivée de Gâteaux
                                    3.1.1. Définitions et exemples
                                    3.1.2. Dérivée au sens de Gâteaux
                        3.2. Les opérations sur les fonctions semi-dérivables
                                    3.2.1. Les opérations algébriques, les enveloppes inférieure et supérieure
                                    3.2.2. La composition de deux fonctions
                        3.3. Fonctions lipschitziennes
                        3.4. Dérivée de Fréchet
                        3.5. Semi-dérivée de Hadamard, dérivée de Fréchet et continuité
                        3.6. Théorème de la moyenne pour les fonctions de plusieurs variables
                        3.7. Dérivées partielles continues et fonctions de classe C(1)
                        3.8. Fonctions de classe C(p) et matrice hessienne
            4. Fonctions convexes
                        4.1. Fonctions convexes dérivables
                        4.2. Semi-dérivabilité et continuité d'une fonction convexe
                                    4.2.1. Convexité et semi-dérivabilité
                                    4.2.2. Convexité et continuité
                                    4.2.3. Sous-différentiel d'une fonction convexe
            5. Exercices sur le Chapitre 2
 

Chapitre 3. Optimisation différentiable sans contraintes

            1. Introduction
            2. Quelques résultats d'optimisation sans contraintes
            3. Méthodes numériques de minimisation faisant appel au gradient
                        3.1. Gradient
                        3.2. Méthode de “Steepest descent”
                        3.3. Méthode du gradient à pas ajustés ou optimaux (optimum gradients)
                        3.4. Critères d'arrêt
                        3.5. Directions conjuguées
                        3.6. Méthode du gradient conjugué
            4. Méthodes numériques de minimisation faisant appel aux dérivées secondes
                        4.1. Difficultés numériques des méthodes de gradient
                        4.2. Méthode du type Newton
                        4.3. Adaptation de la méthode de Newton
                        4.4. Méthode de Fletcher et Powell
            5. Méthodes numériques de minimisation sans dérivées
                        5.1. Minimisation par rapport à une seule variable
                        5.2. Interpolation cubique
                        5.3. Interpolation quadratique
                        5.4. Méthode de Fibonacci
                                    5.4.1. L'unimodalité
                                    5.4.2. La méthode
                                    5.4.3. L'optimalité minimax
 

Chapitre 4. Conditions d'optimalité

            1. Introduction
            2. Sous-espaces linéaire et affine et cônes
                        2.1. Sous-espaces linéaire et affine
                        2.2. Cônes
            3. Conditions d'optimalité pour un convexe U
                        3.1. Fonction objectif convexe Gâteaux dérivable
                        3.2. Fonction objectif semi-dérivable
            4. Condition nécessaire d'optimalité pour U arbitraire
                        4.1. Ensemble des directions admissibles
                        4.2. Condition nécessaire d'optimalité
                        4.3. Propriétés de CU(x) et du cône tangent TU(x)
            5. Orthogonalité, transposition et cônes duaux
                        5.1. Orthogonalité et transposition
                        5.2. Cônes duaux
            6. Condition nécessaire duale d'optimalité
            7. Exercices sur le Chapitre 4
 

Chapitre 5. Optimisation différentiable avec contraintes

            1. Problèmes avec contraintes
            2. Cône des directions admissibles avec contraintes du type égalité
            3. Matrice jacobienne, théorème de la fonction implicite et ses implications
                        3.1. Dérivabilité et matrice jacobienne
                        3.2. Théorème de la fonction inverse et théorème de la fonction implicite
            4. Théorème des multiplicateurs de Lagrange
            5. Théorème de Kuhn-Tucker
            6. Généralisation aux contraintes d'égalité et d'inégalité simultanées
            7. Exercices sur le Chapitre 5

Ouvrages de référence