Sur l'estimation d'une fonction de régression
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Le premier volet de mes recherches consiste en la démonstration de la dérivabilité par rapport au domaine dans l'équation des ondes pour des seconds membres réguliers. On caractérise la dérivée comme solution d'un problème caractéristique au moyen de la dérivée normale de la solution. On établit une condition nécessaire d'optimalité d'un domaine en utilisant la dérivée de forme. Le cas Neumann est également étudié. Les travaux de L. Lasiecka, J-L. Lions et R. Triggiani sur l'équation des ondes (1986) donnent une régularité de la dérivée normale, qui ne résulte pas de la régularité de la solution. Cette régularité cachée permet à l'équation caractéristique de «survivre» lorsqu'on baisse la régularité du second membre. On montre que la solution de ce problème est la dérivée par rapport au domaine, également dans le cas où le second membre est peu régulier. Dans un second volet, je m'intéresse à la vibration d'une coque précontrainte. Une coque est contrainte par un grand déplacement et petite déformation. On calcule au moyen d'un logiciel calcul formel-calcul numérique les positions d'équilibre statique des coques de type Adèle et logiciel S3CS. On étudie ensuite la vibration de la coque autour de cette position d'équilibre stable. La modélisation est effectuée au moyen de la fonction distance orientée. L'équation obtenue est de type hyperbolique, on souhaite dériver les solutions par rapport au domaine. Pour ce faire, nous utilisons les méthodes développées pour la dérivabilité par rapport au domaine dans l'équation des ondes. Le problème réside dans l'absence de résultat de régularité et de l'absence de régularité cachée. On démontre un résultat analogue à la dérivabilité cachée de l'équation des ondes par des méthodes de type extracteur, la régularité intérieure étant obtenue par la théorie des semi-groupes. Parmi les développements futurs, on envisage le modèle exact p(d,) pour les coques précontraintes. On envisage également de généraliser les résultats de dérivabilité par rapport au domaine à une plus grande classe d'équations hyperboliques en extrayant les hypothèses minimales. | |||