Une partie de la recherche a donc été orientée vers les applications de ces solutions, principalement dans le domaine de l'imagerie. Entre autres, les aspects suivants ont été étudiés:

  • · modèles hiérarchiques sur les arbres et détection d'anomalies: la représentation multi-échelle donnée par l'analyse en ondelette d'un signal forment les observations sur les nuds d'un «quadtree». Dans le cas qui nous intéresse, ces observations sont complexes et redondantes puisqu'il s'agit au départ d'un signal réel. Le problème que nous regardons consiste dans la modélisation de ces observations par un modèle statistique dans le but de détecter des anomalies.
  • · Information de la phase: un grand nombre de modèles de processus stochastiques sont représentés sur une base en ondelette orthonormale de Daubechies. C'est le cas des modèles de cascade. En général, seule l'amplitude des modes en ondelette est modélisée. L'étude de la modélisation de la phase (ou du signe) pour ces processus a été entreprise au cours du séjour postdoctoral de J.F. Muzy.

L'étude des solutions complexes a donné lieu à une recherche plus avancée sur la statistique des processus complexes. L'application immédiate fut l'étude d'estimateurs bayésiens en représentation par ondelettes complexes. Les techniques de validation croisée ont été également étudiées dans ce cadre pour estimer les paramètres des estimateurs. Dans ce travail, la statistique complexe se résume au passage en coordonnées polaires pour décrire la vraisemblance et la contrainte de régularité à priori. Toutefois, le passage du signal réel au signal complexe n'est pas aussi trivial et la notion de circularité fait maintenant l'objet d'un travail de recherche plus approfondi. Le filtrage de Kalman et le problème du déroulement de la phase en imagerie satellite sont les applications immédiates de ce projet.

Systèmes de racines apériodiques
Jií Patera

Il existe plusieurs aspects reliés de ce programme de recherche, le premier étant l'aspect dominant:

1.Ordre apériodique à grande échelle en physique. Il s'agit d'une étude des propriétés des quasicristaux et des réseaux apériodiques comme alternatives aux réseaux en physique. Cela comprend la préparation d'un article de revue pour «Physics Reports» provisoirement intitulé «Algebraic Approach to the Theory of Quasicrystals».

  • · Un survol exhaustif d'un nombre aussi grand que possible de structures apériodiques pour les quasicristaux et réseaux apériodiques, rendu possible seulement dans le cadre de notre nouvelle approche.
  • · Utilisation de nouvelles opérations de base sur les structures quasipériodiques (colorations, quasiadditions, inflations) pour étudier des sous-cristaux de quasicristaux, et le nombre minimal de points initiaux à partir desquels ces opérations génèrent la balance du quasicristal.
  • · Étude des processus algorithmiques qui pourraient être interprétés comme règles de croissances locales.
  • · Étude des transformées de Fourier des quasicristaux dans le but de comparer avec les patrons de diffraction obtenus de façons expérimentales.
  • · Détermination des propriétés d'ensembles de points observés expérimentalement en utilisant notre nouvelle description exhaustive des symétries d'inflations et des distances minimales dans les quasicristaux.
  • · Calcul des seuils de percolation pour les réseaux apériodiques, calcul des exposants statiques et des dimensions fractales des agrégats de percolation.

2. Détermination des ensembles de nombres quantiques additifs pour un groupe de symétrie donné. La principale étape à franchir est une classification des graduations les plus fines des algèbres de Lie réelles classiques à partir de nos résultats sur les algèbres complexes.

3. Contractions graduées de représentations de groupes de Lie. Il s'agit d'une continuation de l'étude des déformations de représentations des plus importantes algèbres de Lie en physique.

4. Analyse d'image et reconnaissance de forme. Il s'agit d'une collaboration à incidence industrielle avec Lockheed Martin Canada Inc. impliquant trois étudiants gradués et un chercheur postdoctoral.

5. Méthodes informatiques en théorie des groupes et développement de logiciels. L'implantation sur support graphique de nos algorithmes est indispensable pour nos autres projets. Une large part de notre intuition sur les quasicristaux est obtenue en voyant leur images.

Modélisation de séries chronologiques
Roch Roy

Roch Roy s'intéresse à la modélisation des séries chronologiques. Bien qu'étant un domaine classique de la statistique, l'analyse et la modélisation des sé