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Une partie de la recherche a donc été orientée
vers les applications de ces solutions, principalement
dans le domaine de l'imagerie. Entre autres, les aspects
suivants ont été étudiés:
- · modèles hiérarchiques sur les arbres et
détection d'anomalies: la représentation multi-échelle
donnée par l'analyse en ondelette d'un signal
forment les observations sur les nuds d'un
«quadtree». Dans le cas qui nous intéresse, ces observations
sont complexes et redondantes puisqu'il s'agit au
départ d'un signal réel. Le problème que nous
regardons consiste dans la modélisation de ces
observations par un modèle statistique dans le but de
détecter des anomalies.
- · Information de la phase: un grand nombre de
modèles de processus stochastiques sont
représentés sur une base en ondelette orthonormale
de Daubechies. C'est le cas des modèles de
cascade. En général, seule l'amplitude des modes
en ondelette est modélisée. L'étude de la
modélisation de la phase (ou du signe) pour ces processus a
été entreprise au cours du séjour postdoctoral de
J.F. Muzy.
L'étude des solutions complexes a donné lieu
à une recherche plus avancée sur la statistique des
processus complexes. L'application immédiate fut
l'étude d'estimateurs bayésiens en représentation
par ondelettes complexes. Les techniques de
validation croisée ont été également étudiées dans ce cadre
pour estimer les paramètres des estimateurs. Dans ce
travail, la statistique complexe se résume au passage
en coordonnées polaires pour décrire la
vraisemblance et la contrainte de régularité à priori. Toutefois, le
passage du signal réel au signal complexe n'est pas
aussi trivial et la notion de circularité fait maintenant
l'objet d'un travail de recherche plus approfondi. Le
filtrage de Kalman et le problème du déroulement de la
phase en imagerie satellite sont les applications
immédiates de ce projet.
Systèmes de racines apériodiques
Jií Patera
Il existe plusieurs aspects reliés de ce
programme de recherche, le premier étant l'aspect dominant:
1.Ordre apériodique à grande échelle en
physique. Il s'agit d'une étude des propriétés des quasicristaux et
des réseaux apériodiques comme alternatives aux réseaux
en physique. Cela comprend la préparation d'un article
de revue pour «Physics Reports» provisoirement
intitulé «Algebraic Approach to the Theory of Quasicrystals».
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- · Un survol exhaustif d'un nombre aussi grand
que possible de structures apériodiques pour
les quasicristaux et réseaux apériodiques, rendu
possible seulement dans le cadre de notre nouvelle
approche.
- · Utilisation de nouvelles opérations de base sur
les structures quasipériodiques (colorations,
quasiadditions, inflations) pour étudier des
sous-cristaux de quasicristaux, et le nombre minimal de
points initiaux à partir desquels ces opérations
génèrent la balance du quasicristal.
- · Étude des processus algorithmiques qui
pourraient être interprétés comme règles de croissances locales.
- · Étude des transformées de Fourier des
quasicristaux dans le but de comparer avec les patrons
de diffraction obtenus de façons expérimentales.
- · Détermination des propriétés d'ensembles
de points observés expérimentalement en
utilisant notre nouvelle description exhaustive des
symétries d'inflations et des distances minimales dans
les quasicristaux.
- · Calcul des seuils de percolation pour les
réseaux apériodiques, calcul des exposants statiques et
des dimensions fractales des agrégats de percolation.
2. Détermination des ensembles de nombres
quantiques additifs pour un groupe de symétrie
donné. La principale étape à franchir est une classification
des graduations les plus fines des algèbres de Lie
réelles classiques à partir de nos résultats sur les
algèbres complexes.
3. Contractions graduées de représentations de
groupes de Lie. Il s'agit d'une continuation de l'étude
des déformations de représentations des plus
importantes algèbres de Lie en physique.
4. Analyse d'image et reconnaissance de
forme. Il s'agit d'une collaboration à incidence industrielle
avec Lockheed Martin Canada Inc. impliquant trois
étudiants gradués et un chercheur postdoctoral.
5. Méthodes informatiques en théorie des
groupes et développement de logiciels. L'implantation
sur support graphique de nos algorithmes est
indispensable pour nos autres projets. Une large part de
notre intuition sur les quasicristaux est obtenue en
voyant leur images.
Modélisation de séries chronologiques
Roch Roy
Roch Roy s'intéresse à la modélisation des
séries chronologiques. Bien qu'étant un domaine
classique de la statistique, l'analyse et la modélisation des sé
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