méthodes nous fournit de nouveaux outils pour aborder les phénomènes non linéaires en physique spécialement ceux décrits par des systèmes multidimensionnels d'équations aux dérivées partielles (EDP) et qui n'ont pu être résolus par d'autres méthodes (par exemple la diffusion inverse). Le programme de recherche est constitué des 4 projets suivants:

  • 1. Symétries conditionnelles pour les systèmes d'EDP non linéaires.
  • 2. Une comparaison entre les différentes méthodes de groupe de Lie servant à solutionner les EDP.
  • 3. Solutions invariantes et partiellement invariantes des équations de Navier-Stokes.
  • 4. Les ondes de Riemann multiples pour les systèmes quasilinéaires d'EDP et les relations avec la méthode de réduction par symétries.

Systèmes intégrables, déformations isomonodromiques et fonctions modulaires
John Harnad

Pendant l'année passée, deux projets en collaboration étaient réalisés. L'un, en association avec A. Its de l'Université d'Indiana, portait sur les déterminants de certains opérateurs intégrales de Fredholm de types «intégrables», le problème de Riemann-Hilbert matriciels et les déformations isomonodromiques. On a démontré que ce type de déterminant de Fredholm était la fonction tau d'une classe de déformations isomonodromiques d'un opérateur de dérivation covariant sur la sphère de Riemann méromorphe. Dans un autre projet, en collaboration avec J. McKay, on a déduit les solutions à une classe de systèmes différentiels généralisant le système de Halphen, avec les solutions générales données en termes de certaines fonctions modulaires uniformisant des surfaces de Riemann de jauge zéro.

Géométrie et physique
Jacques Hurtubise

Les travaux de Jacques Hurtubise dans l'année 1997-98 ont porté sur plusieurs sujets. Dans le premier sujet, celui des théorèmes de stabilité pour les espaces de modules d'applications holomorphes de courbes dans des variétés complexes, un long article a été terminé au début de la période, et a été soumis. Un autre projet, conjoint avec E. Markman, porte sur la classification de systèmes algébriquement intégrables dont les tores lagrangiens sont des variés de Prym. Avec

une étudiante (M. Kjiri), il a généralisé une construction antérieure pour des coordonnées séparantes pour les systèmes de Hitchin généralisés, ce qui donne ces coordonnées, entre autres, pour les systèmes à matrice r trigonométriques ou elliptiques. Finalement, un projet conjoint avec Lisa Jeffrey sur les liens entre les espaces de modules de fibrés sur des surfaces de Riemann et les variétés toriques a porté fruit, donnant lieu à une nouvelle classe d'objets holomorphes sur une surface de Riemann, les fibrés avec trivialisation parabolique.

Supersymétrie
Véronique Hussin

Au cours des vingt dernières années, le cadre de la théorie des groupes et algèbres de Lie a été étendu dans plusieurs directions. On pense notamment aux théories supersymétriques sous-tendues par les notions de supergroupes et superalgèbres de Lie. Dans ce cadre, on traite d'une description unifiée d'objets fermioniques et bosoniques qui nécessite de travailler avec des variables commutatives et anticommutatives. Le problème de résoudre des équations différentielles non linéaires avec de telles variables est une question intéressante qui a été abordée par V. Hussin, en collaboration avec A. Ayari et P. Winternitz. De nouvelles solutions supersolitoniques ont été obtenues en généralisant la méthode de réduction par symétries dans ce contexte.

Un autre aspect de la recherche de V. Hussin traite de la construction d'états minimaux d'incertitude en termes d'états dits «cohérents» ou «comprimés» pour des systèmes quantiques supersymétriques. On utilise pour cela de nouvelles relations impliquant les états propres d'opérateurs d'annihilation associés à des oscillateurs harmoniques et anharmoniques ainsi qu'au modèle de Jaynes-Cummings important en optique quantique.

Géométrie des équations aux dérivées partielles/systèmes quasi-exactement résolubles
Niky Kamran

Le programme de recherches de Niky Kamran comporte deux axes principaux. D'une part, il vise à étudier les rapports géométriques qui existent entre les diverses propriétés d'intégrabilité géométrique et l'existence de lois de conservation pour les équations aux dérivées partielles en dimensions m 3. D'autre