Durant les six dernières années, la recherche de Twareque Ali, faite en grande partie en collaboration avec J.-P. Antoine, Université Catholique de Louvain (Belgique), et J.-P. Gazeau, Université Paris-7, a porté sur les représentations de groupes de carré intégrable et sur leurs applications aux états cohérents, à la quan tification et à l'analyse en ondelettes.
Ces collaborateurs ont développé des généralisa tions profondes du concept de représentations de carré intégrable, basées sur les espaces homogènes du groupe. La notion unifie toutes les différentes appro ches utilisées pour étudier les états cohérents pour les groupes localement compacts, trouvées dans la litté rature, la théorie des repères dans les espaces de Hil bert et le traitement du signal à l'aide de transformées de type ondelettes. Cette unification relie aussi les mé thodes de quantification géométrique, la quantifica tion basée sur les états cohérents et la technique de Berezin de quantification sur les variétés de Kähler. Comme conséquence de leur théorie généralisée, il est possible de dériver des transformées de type ondelettes en utilisant pratiquement tout groupe lo calement compact. Ces transformées peuvent être uti lisées à leur tour pour l'analyse des fonctions sur la variété du groupe ou sur des espaces homogènes un fait utile à exploiter dans l'analyse des signaux réa lisés à l'aide de ces fonctions. Dans les problèmes de quantification, leurs techniques permettent l'utilisa tion de fibrés vectoriels généraux, de façon que la sy métrie interne peut être prise en compte, et de plus, plusieurs obstructions inhérentes à la quantification géométrique usuelle sont éliminées.
Les intérêts de recherche principaux de Paul Arminjon se concentrent dans le domaine des méthodes numériques pour les systèmes hyperboliques nonlinéaires, avec des applications aux problèmes de génie dans la dynamique des gaz, l'électrostatique et l'électrodynamique. Pour les écoulements transoniques/supersoniques, Paul Arminjon étudie avec ses collaborateurs, A. Dervieux et M.C. Viallon, le design et l'analyse numérique de méthodes de différences finies, d'éléments finis et de volumes finis ayant une grande précision. Récemment, ils ont obtenu une famille de schémas du second ordre non-oscillants fort précis basés sur:
En collaboration avec M.C. Viallon, il a prouvé récemment la convergence de ce dernier schéma pour l'équation de conservation linéaire, et ils étendent présentement leur preuve au cas nonlinéaire.
La dynamique nonlinéaire permet d'interpréter les changements complexes dans les rythmes physiologiques [des bifurcations] lorsque les valeurs de paramètres de contrôle sont modifiées. La théorie permet des prédictions sur les comportements possibles dans les préparations expérimentales, et procure une explication unifiée des divers régimes observés. Nos travaux portent surtout sur la rétroaction retardée ('delayed feedback') nonlinéaire dans le contrôle et les oscillations de systèmes hormonaux et neuromusculaires, cherchant à cerner les rôles du délai, de la présence de plusieurs boucles de feedback et de délais variables pour la génération de comportements périodiques (oscillations) ou irréguliers.
Nos travaux les plus récents ont permis d'appliquer une technique de détection de naissance de rythmes périodiques à une ou plusieurs fréquences à des systèmes 'simples' de réseaux neuronaux artificiels (de petites dimensions), de même qu'à un prototype du plus simple oscillateur plausible pour le contrôle neuromusculaire. Cette même procédure est actuellement employée pour le design d'un mode d'administration contrôlée de médicaments.
Abraham Broer s'intéresse aux liens entre la géométrie algébrique et la théorie des représentations. Il étudie, entre autres, les variétés nilpotentes et les fibrés cotangents des variétés drapeaux et les généralisations usuelles; des propriétés algébriques comme la normalité et les singularités rationnelles sont établies.
Il a prouvé la trivialité de la cohomologie supérieure des fibrés en droite sur le fibré cotangent de la variété drapeau dans le but de montrer que la variété nilpotente sous-régulière était normale. Ces résultats peuvent être appliqués à l'étude des anneaux d'opérateurs différentiels et de la théorie des représentations des algèbres de Hecke.
Récemment, il a obtenu un autre théorème d'annulation, cette fois pour la cohomologie de Dolbeault pour les fibrés vectoriels homogènes sur les variétés drapeaux, généralisant ainsi les résultats de trivialité de Borel-Weil pour la cohomologie des faisceaux ordinaire. On soupçonne que ces résultats pourront être étendus à des situations plus générales.
Une question importante en contrôle concerne la stabilisation d'un système par une commande en forme de retour d'état (feedback). En particulier, la question suivante est classique: sachant que le système est commandable, alors existe-t-il un tel retour d'état? Cette question a des conséquences importantes pour la mise à l'oeuvre de systèmes contrôles dans les applications. Quand le système sous-jacent est linéaire, c'est un résultat classique que la commandabilité implique la stabilisation par retour d'état. Dans le cas non-linéaire, la question est restée ouverte jusqu'à tout récemment: F.Clarke, en collaboration avec Yu. Ledyaev, E. Sontag et A. Subbotin, a trouvé une réponse positive. Un aspect important de leur analyse concerne une nouvelle définition de solution du système quand la commande retour d'état est une fonction discontinue.
Le thème principal de ce programme de recherche est l'optimisation par rapport à la forme ou à la géométrie d'un domaine sur lequel est défini une équation ou un système d'équations aux dérivées partielles. Ce type de problème est central en conception optimale (aéronautique, thermique, traitement d'images, etc...). Au niveau théorique, il faut donner un sens aux dérivées et aux formulations par rapport à la forme en construisant des topologies adéquates sur des familles de sous-ensembles. Parmi celles-ci, on retrouve celles induites par des fonctions distance ou des familles de fonctions paramétrisées par des ensembles et plongées dans un espace fonctionnel. En particulier, la fonction distance algébrique fournit un outil très riche pour faire du calcul différentiel sur des sous-variétés différentielles. Ceci permet de traiter les coques minces de façon complètement intrinsèque et d'étendre le calcul de forme à des équations différentielles définies sur ces sous-variétés.
David Donoho a utilisé l'interpolation dyadique pour créer des ondelettes. Il existe une relation entre les splines et les ondelettes. Il est possible de construire des ondelettes à support compact ayant un certain nombre de moments nuls qui soient orthogonales aux ondelettes obtenues des fonctions splines. Ce projet s'inscrit dans le cadre du relèvement des ondelettes, une idée récente et en développement.
Les recherches de Louis Doray portent sur deux fronts. En assurance générale, il s'intéresse à la modélisation des accidents survenus mais non-signalés (SMNS) à un assureur, à l'aide de modèles de régression, de séries chronologiques ou de processus de Poisson composés. Il étudie divers estimateurs des paramètres, l'ajustement du modèle et la prédiction de la provision pour sinistres SMNS.
En statistique, il s'intéresse aux familles de lois discrètes définies sur les entiers non-négatifs, dont la fonction de probabilité peut être exprimée par une relation de récurrence. Pour certaines de ces lois, il n'existe pas d'expression analytique pour la fonction de probabilité. L'estimation des paramètres par la méthode du maximum de vraisemblance est alors très difficile. Cependant, la méthode des moindres carrés pondérés itérés donne des estimateurs très efficaces, beaucoup plus faciles à calculer. De plus, une statistique pour tester l'ajustement du modèle à des données peut aussi être facilement calculée, ainsi que sa distribution asymptotique dérivée. Des tests permettant de distinguer entre les divers membres de la famille sont analysés. Doray considère aussi le problème des variables explicatives pour ces familles de lois discrètes.
Notre but général est le développement de l'analyse mathématique dans ce qui touche à la conception, la création, la perception et l'étude de certaines figures planes ou spatiales comme des courbes et des surfaces.
Les recherches récentes de Daniel Dufresne ont porté sur (i) les options asiatiques, (ii) certaines propriétés des lois gammas et (iii) l'application de la théorie des martingales aux principes généraux des évaluations actuarielles.
À l'aide du concept de supersymétrie, il est possible de généraliser de façon non triviale l'équation de Korteweg-de Vries (KdV) à un système de deux équations différentielles couplées et intégrables (Mathieu). Sachant que le concept de supersymétrie peut être lui-même étendu [para-supersymétrie et supersymétrie fractionnaire (Durand, Vinet)], il est alors naturel de chercher des généralisations à des systèmes intégrables impliquant plusieurs équations différentielles couplées. Or, le formalisme de super-espace fractionnaire (Durand) permet naturellement une telle généralisation. Ce résultat est établi en utilisant l'extension fractionnaire de la notion de supersymétrie, la structure hamiltonienne de la mécanique pseudo-classique fractionnaire, ainsi que la généralisation fractionnaire de la superalgèbre de Virasoro (et/ou ses q-déformations).
Richard Fournier et un collaborateur (St. Rusche weyh) ont comme projet de décrire explicitement cer taines valeurs omises par différentes classes normali sées de fonctions univalentes sur le disque unité du plan complexe. Il semble que certaines familles de valeurs omises puissent être décrites en termes sim ples par certaines combinaisons des coefficients de Taylor des fonctions étudiées; il semble aussi que cer taines valeurs omises caractérisent en quelque sorte diverses classes de fonctions univalentes, par exem ple les fonctions convexes. Ce genre de travaux mène par ailleurs à de nouvelles inégalités concernant les coefficients de Taylor et le module des transformations conformes convexes. Il est aussi possible que certains résultats puissent être utilisés pour résoudre quelques problèmes concernant les transformations homogra phiques de fonctions univalentes convexes.
La théorie des points critiques pour des fonction nelles univoques et continûment différentiables, et l'analyse multivoque sont deux domaines importants et très actifs en mathématiques. Marlène Frigon cher che à développer une théorie des points critiques pour des fonctionnelles multivoques. Cette théorie serait ensuite appliquée à des problèmes pour des inclusions aux dérivées partielles.
Langis Gagnon et deux étudiantes de Jiri Patera évaluent et proposent des méthodes de traitement d'images et de reconnaissance de cibles pour des ima ges radar et infrarouge. Le but est de développer un système de reconnaissance de navires à partir d'un ensemble de capteurs à imagerie monté sur une plateforme aéroportée. Les algorithmes étudiés utili sent diverses techniques modernes de traitement de l'information comme la morphologie mathématique, les ondelettes et les réseaux de neurones. Les réalisa tions récentes consistent en 1). une étude d'une nou velle méthode de réduction du chatoiement (bruit «speckle») dans les images radar à antenne synthéti que (RAS) en mode «strip-map» à l'aide de la trans formée en ondelettes et 2). la segmentation d'une ci ble dans une image RAS en mode «spotlight».
Walsh a montré que toute fonction continue, sur une courbe sans points doubles dans le plan complexe, peut être approchée par des polynômes complexes. Thomas Bagby, Aurel Cornea et Paul Gauthier ont montré un résultat analogue pour les polynômes harmoniques. Toute fonction continue, sur une courbe sans points doubles dans l'espace euclidien, peut être approchée par des polynômes harmoniques. Nous cherchons à savoir si un résultat semblable est vrai si l'on remplace les courbes par les hypersurfaces.
Bernard Goulard et Jean-Marc Lina en sont à leur dernière année d'un projet collaboratif de trois ans du CRSNG dont le rôle est d'étendre les capacités des sys tèmes de monitorage et de diagnostic d'Atlantic Nuclear Services par la recherche et le développement de sa technologie de réseaux de neurones artificiels (RNA) et par l'introduction de transformées d'onde lettes dans les parties de traitement du signal. Premiè rement, en collaboration avec Y. Bengio (Département d'informatique et de reherche opérationnelle, Univ. de Montréal) et un étudiant, F. Gingras, ils terminent un RNA modulaire basé sur un «mélange d'experts» afin de classifier les divers régimes d'un réacteur. Un mo dèle gaussien a été appliqué aux probabilités d'entrée des données et à la différentiation entre les données typiques et atypiques d'une classe. Cette «machine à inférence» a été testée avec succès sur des donnés si mulées et réelles d'un réacteur. Deuxièmement, des propriétés mathématiques des ondelettes complexes (symétries minimisant la variance usuelle du décalage des ondelettes réelles et l'utilisation de l'information contenue dans la phase pour coder les signaux transi toires) ont été explicitées et illustrées dans deux pa piers par J.M. Lina et les étudiants P. Drouilly et J. Scott. Ces propriétés les ont mené à étendre l'étude des on delettes au domaine des signaux bi-dimensionnels, c'est-à-dire au traitement d'image (régression non-li néaire basée sur des ondelettes, algorithmes à plu sieurs échelles pour l'imagerie digitale, analyse multi -fractale par ondelettes). L'un d'eux (B.G.), en collabo ration avec R. Roy (Polytechnique) et un étudiant (A. Qaddouri), étudie les processus itératifs parallèles pour résoudre les équations de transport de Boltz mann qui gouvernent la distribution neutronique dans un réacteur et leur extension possible à d'autres domaines.
Les recherches de Michel Grundland portent sur les méthodes de réduction par symétries (MRS) ainsi que sur la méthode des invariants de Riemann (MRI) et leurs applications aux équations de la théorie des champs non-linéaires, à la physique de la matière con densée ainsi qu'à la dynamique des fluides. Le déve loppement de ces méthodes nous fournit de nouveaux outils pour aborder les phénomènes non-linéaires en physique, spécialement ceux décrits par des systèmes multidimensionnels d'équations aux dérivées partiel les (EDP) et qui n'ont pu être résolus par d'autres méthodes (par exemple la diffusion inverse). Le pro gramme de recherche est constitué des quatre projets suivants:
Durant la dernière année, les principaux intérêts de recherche de John Harnad étaient tous reliés à la théorie moderne des systèmes intégrables. Les sujets étudiés étaient:
Un travail récent, en collaboration avec A.R.Its, poursuit l'étude des déformations isomonodromiques duales mais aussi initie un nouveau programme reliant celle-ci au calcul des fonctions de corrélation des modèles intégrables quantiques et statistiques et des distributions spectrales de matrices aléatoires, dans lesquelles apparaît une classe spéciale d'opérateurs intégraux de Fredholm dont les déterminants de Fredholm sont les fonctions de corrélation en question. Celles-ci sont calculées par la «méthode d'habillage» (problème de Riemann-Hilbert), adaptée au cas des déformations isomonodromiques, et menant à des représentations intégrales importantes dans le calcul du comportement asymptotique de ces fonctions de corrélation. Un résultat-clé obtenu dans ce travail est le fait que les représentations isomonodromiques «duales», déduites généralement de la structure de la matrice R, suit dans ce contexte de l'invariance du déterminant de Fredholm sous la transformée de Fourier du noyau intégral.
Les travaux de Jacques Hurtubise portent sur des aspects géométriques et topologiques d'objets émanant de la physique mathématique. Le projet comporte deux volets, plutôt disjoints.
Le premier vise les rapports entre les espaces de solutions à plusieurs équations de champ de la physique mathématique telles que celles du modèle sigma ou des équations de Yang-Mills, et les espaces fonctionnels dans lesquels ils se trouvent. Les questions abordées sont surtout d'ordre topologique; on démontre entre autres des théorèmes de «stabilité topologique». Ces théorèmes ont été étendus cette année au cas le plus général connu jusqu'ici. Les espaces de solutions apparaissent comme minima ou ensembles critiques d'une fonctionnelle d'action, et le problème comporte aussi des questions analytiques du calcul des variations.
Le deuxième volet cherche à élucider les propriétés algébro-géométriques de systèmes mécaniques complètement intégrables. Un invariant fut récemment mis au point qui permet de mesurer une certaine complexité d'un bon nombre de ces systèmes; quand cette complexité est minimale, le système possède des systèmes de coordonnées très naturelles, qui paraissent liés à la quantification du système.
Les recherches de Niky Kamran portent sur les propriétés des équations aux dérivées partielles qui sont de nature essentiellement géométrique. Certaines des questions les plus importantes se rapportant aux équations aux dérivées partielles peuvent être étudiées de manière précise, en combinant des techniques analytiques classiques à des outils puissants provenant de la géométrie différentielle, de la topologie différentielle et de la théorie des représentations. Les travaux récents de Kamran traitent de l'existence globale de principes variationnels, de questions d'intégrabilité géométrique d'équations hyperboliques, de l'existence de lois de conservation et de formation de singularités dans les solutions. Par ailleurs, Kamran a contribué à asseoir la théorie des potentiels quasi-exactement résolubles en mécanique quantique sur des bases rigoureuses à l'aide de méthodes cohomologiques originales alliées à des théorèmes fondamentaux de théorie classique des invariants.
Robert Langlands et Yvan Saint-Aubin ont entrepris de mieux comprendre le rôle des conditions aux limites sur les fonctions de partition de certains mo dèles statistiques simples. Leur but est d'obtenir une description suffisamment précise pour pouvoir cal culer, par exemple, la fonction de partition d'un tel modèle sur un réseau donné à partir des fonctions de partition sur deux sous-réseaux complémentaires. Une première étape franchie par Langlands a permis d'identifier, pour la théorie du boson libre, une appli cation de l'espace des conditions aux limites dans l'es pace de Hilbert du modèle; il est alors possible de cal culer la fonction de partition avec une condition aux limites fixée. Un tel effort est maintenant fourni pour mieux comprendre le modèle d'Ising. Cette démar che s'inscrit dans un effort pour définir des modèles statistiques finis (c'est-à-dire avec un nombre de de grés de liberté fini) possédant une transformation de renormalisation et un point fixe non-trivial sous cette transformation. Une telle famille de modèles existe pour la percolation, et les exposants critiques pour le représentant le plus simple de cette famille, mesurés sur ordinateurs, s'apparentent aux exposants pressen tis de la percolation.
Les polyominos sont des structures combinatoires importantes pour la physique mathématique. Ils interviennent, entre autres, comme modèles des po lymères et dans l'étude de la percolation. Des travaux récents des écoles bordelaises et australiennes ont per mis le dénombrement, selon l'aire, le périmètre et d'autres paramètres plus fins, de nombreuses classes de polyominos ayant des propriétés minimales de convexité. D'un point de vue géométrique ou combi natoire, il est naturel de considérer les polyominos convexes à symétrie ou rotation près, c'est-à-dire comme des objets libres de bouger dans l'espace. Leur dénombrement, auquel Pierre Leroux s'est attaqué, passe par l'étude des orbites de l'action du groupe diédral sur les polyominos convexes et, en vertu du lemme de Burnside, par l'énumération des différen tes classes de symétries de polyominos. Plusieurs de ces classes sont étroitement liées à certaines familles classiques de modèles discrets en mécanique statisti que. Par exemple, la classe des polyominos convexes ayant une symétrie diagonale est liée à celles des polyominos (ou des animaux) dirigés convexes à source diagonale compacte.
Les intérêts de recherche de Sabin Lessard sont dirigés vers un large éventail de modèles en généti que des populations et les dynamiques évolutionnai res sous-jacentes. Ces buts principaux sont: a) d'ex pliquer le maintien de la variabilité dans les popula tions biologiques, b) de développer les techniques ma thématiques et statistiques pour l'analyse des struc tures génétiques des populations, c) de déduire les principes d'évolution généraux, et d) d'étudier les populations avec des interactions complexes entre les individus.
La plupart des q-fonctions spéciales de la physi que mathématique ont des q-analogues, c'est-à-dire des déformations faisant intervenir un paramètre q. Tout comme les algèbres de Lie fournissent un cadre unificateur pour l'étude des fonctions spéciales, des q-déformations de ces algèbres fournissent un cadre analogue pour les q-fonctions spéciales. En collabora tion avec Luc Vinet (CRM) et Roberto Floreanini (Trieste), Jean LeTourneux recherche systématique ment l'interprétation q-algébrique des q-polynômes spéciaux appartenant à la hiérarchie d'Askey-Wilson.
Selon l'effet Efimov, un système à trois corps a un nombre infini d'états liés quand il fait intervenir des interactions à deux corps liant marginalement le sys tème à deux corps. Les preuves formelles de cet effet sont trop complexes pour donner une intuition physique du phénomène. Dans des preuves plus simples formulées dans le cadre de l'approximation de Born -Oppenheimer, l'effet disparaît aussitôt que l'on va au -delà de l'approximation d'ordre le plus bas. Avec Ber trand Giraud (Saclay) et Yukap Hahn (Univ. of Connecticut), Jean LeTourneux étudie un certain nombre de questions soulevées par cet état de choses.
Le principal intérêt de recherche de Brenda MacGibbon est l'estimation optimale de paramètres contraints et de ses applications aux modèles paramétriques et non-paramétriques des problèmes courants. Elle s'intéresse particulièrement à l'utilisation d'outils provenant de l'analyse harmonique telle l'analyse de Fourier et en ondelettes dans l'estimation fonctionnelle, par exemple dans les problèmes sui vants:
Chonghui Liu simule actuellement numérique ment la transition vers la turbulence d'une couche li mite. L'accent est mis sur le cas où l'écoulement est soumis à un gradient de pression adverse. C'est par exemple le cas au voisinage d'un point de décollement de l'écoulement autour d'un profil d'aile en incidence. On utilise une méthode d'éléments spectraux afin de combiner les avantages de la méthode des éléments finis (souplesse de la géométrie) et la convergence ra pide d'une méthode spectrale. L'étudiante de maîtrise L. Campbell étudie l'interaction d'un paquet d'ondes forcées du type Rossby avec un écoulement de cisaille ment zonal dans le cadre du plan bêta souvent em ployé en météorologie. Cette étude utilisera des mé thodes asymptotiques aussi bien qu'une de différen ces finies. Le but est de généraliser les études anté rieures en considérant un paquet d'ondes plutôt qu'un mode normal. L'analyse récente de la couche critique pour un paquet d'ondes de Maslowe, Benney et Mahoney (1994) jouera un rôle important dans ce pro jet.
Les ondelettes sont utilisées pour le traitement de signal sous plusieurs aspects (filtrage, débruitage, com pression, etc.). Pour les signaux 2-D (par exemple en ima gerie), on utilisait jusqu'à tout récemment le produit ten soriel d'ondelettes 1-D (ondelettes séparables). Or, les on delettes 1-D qui semblent offrir les meilleurs résultats sont celles qui possèdent des propriétés de symétrie. Comme les ondelettes 2-D séparables n'offrent pas les symétries non-triviales de 2-D (rotation), il faut se tourner vers les ondelettes non-séparables. Ce projet de recherche con siste à obtenir les ondelettes 2-D non-séparables et à les classifier à partir de leurs propriétés de symétrie. Comme cela a été fait pour le cas 1-D, ce projet essaiera de paramétriser les ondelettes 2-D selon les propriétés d'orthogonalité, de symétrie et continuité de la dérivée.
Les recherches récentes de Jiri Patera ont porté sur deux domaines: (i) les systèmes de racines non-cristallographiques et (ii) les déformations des algèbres de Lie semisimples et de leurs représentations. En collaboration avec R.V.Moody (Univ. of Alberta), il a formulé les fondements mathématiques des systèmes de racines non-cristallographiques, soulignant leur relation avec les quasi-cristaux. Leurs conséquences devraient apparaître dans des publications au cours des prochaines années. Un effort considérable a été consacré à la préparation (conjointement avec Moody) et la tenue de deux événements scientifiques: un atelier de l'OTAN intitulé «Mathematics of Aperiodic Long Range Order» et un semestre thématique sur le même sujet (les deux ont eu lieu à l'Institut Fields). Il a également poursuivi l'étude et l'exploitation des déformations simultanées des algèbres de Lie semisimples et de leurs représentations. L'outil principal ici est l'approche récemment découverte par Patera et ses collaborateurs qui exige qu'une graduation fixée soit préservée lors de la déformation.
Les intérêts de recherche de F. Perron sont reliés à la théorie de la décision et à l'analyse multidimension nelle. Ses résultats portent principalement sur la re cherche d'estimateurs minimax pour l'estimation du vecteur moyen et de la matrice de covariances d'une population multinormale. L'idée derrière la recherche d'un estimateur minimax est la suivante. En général, un estimateur ne donne jamais exactement la valeur du paramètre qu'il est censé estimer. Il y a toujours une erreur associée à la précision de l'estimateur et cette erreur varie selon la valeur prise par le paramè tre que l'on cherche à estimer. Pour un estimateur fixé, on peut trouver quelle sera la plus grande erreur d'es timation si on fait varier le paramètre dans son do maine de définition. L'estimateur minimax est celui dont l'erreur maximale est la plus petite. Les auteurs Krishnamoorthy et Gupta ont essayé de montrer qu'un certain estimateur de la matrice de précision était minimax sans vraiment y parvenir. En fait, ils ont re marqué, sur la base de simulations, que le résultat était plausible et ensuite ils ont émis une conjecture qui fai sait que le résultat tenait et aussi que bien d'autres résultats du même genre allaient tenir. Dans l'article On a Conjecture of Krishnamoorthy and Gupta, on montre que la conjecture est fausse et on montre aussi que l'estimateur de la matrice de précision proposé est quand même minimax. Ses futurs projets vont porter sur l'analyse bayesienne et sur les méthodes de simu lation par chaîne de Monte Carlo.
Ivo Rosenberg a continué l'étude du treillis de clo nes (en algèbre universelle et logiques en multivalen tes) surtout sur des univers finis. Il a étudié les sous -clones maximaux des clones des opérations isotones par rapport à un ordre borné et les clones qui ne sont pas finiment engendrés. Le treillis de clones se partitionne en un nombre dénombrable d'intervalles dits monoïdaux.
Pour un univers à trois éléments, Fearnley et Ro senberg ont entrepris une classification de ces inter valles par leur taille 1, finie, dénombrable et de la cardinalité du continuum. Rosenberg a mis en évi dence une correspondance naturelle entre les hyperalgèbres sur un univers A et les sous-clones du clone des opérations isotones sur l'univers des par ties non-vides de A ordonnées par l'inclusion. Il a com mencé la classification des sous-clones maximaux de ce clone pour A fini. Dans cette correspondance, les hypergroupes deviennent des demigroupes particuliers et Rosenberg a entrepris l'application des résul tats de la théorie des demigroupes aux hypergroupes. Avec Hikita, il a aussi travaillé sur un critère général de complétude pour opérations aux délais uniformes.
Un objectif de longue haleine du programme de recherche est la complétion de la preuve de la partie existentielle du 16e problème de Hilbert pour les sys tèmes quadratiques: montrer qu'il existe une borne uniforme pour le nombre de cycles limites d'un sys tème quadratique. Ce projet initié en 1991 avec F. Dumortier et R. Roussarie progresse rapidement. Une percée récente de C. Rousseau et H. Zoladek exploi tant simultanément les techniques de Khovanskii et Bautin pour les centres, jointe aux techniques d'écla tement des familles par R. Roussarie, permet d'espé rer une solution complète du problème dans les trois à cinq prochaines années.
Toutes les techniques introduites pour le problème ci-dessus ont un intérêt intrinsèque dépassant de beau coup le problème de Hilbert. Avec R. Roussarie, C. Rousseau les a appliquées avec succès pour l'étude de certaines boucles homocliniques dans l'espace et leur étudiant, L.S. Guimond, continue leurs travaux dans cette direction.
Un autre volet du projet de recherche portera sur les méthodes algébro-géométriques dans les champs de vecteurs polynomiaux. C. Rousseau travaille sur le problème du centre (avec D. Schlomiuk) et sur la caractérisation géométrique des champs de vecteurs isochrones (avec P. Mardesic et L. Moser-Jauslin).
Cette étude des champs de vecteurs polynomiaux a des répercussions directes sur un dernier volet du projet de recherche: l'étude des singularités de champs de vecteurs de codimension supérieure (typiquement trois ou plus). Les bifurcations de ces singularités sont des centres organisateurs de diagrammes de bifurca tion apparaissant dans beaucoup de modèles appli qués.
Les intérêts de recherche de Gert Sabidussi se si tuent en théorie algébrique des structures discrètes, notamment des graphes, les sujets principaux de la recherche étant deux structures algébriques associées aux graphes: les symétries du graphe exprimées par le groupe d'automorphismes, et les invariants de cer tains groupes de transformations linéaires induits par le graphe. Sous le premier titre (symétries), la recherche porte sur les propriétés algébriques de plusieurs classes de graphes de haute symétrie ayant leur ori gine en informatique théorique où ils servent de mo dèles de réseaux d'interconnexion en calcul parallèle. De tels modèles existent en grand nombre, donnant lieu à une pléthore d'algorithmes différents pour l'exé cution d'une même tâche. La recherche algébrique vise à réduire cette profusion en créant une base théorique pour la conception d'algorithmes généraux applica bles à tous les réseaux d'interconnexion munis d'une structure de symétrie suffisamment riche.
La recherche sur les invariants est moins orientée vers les applications et porte principalement sur les liens entre les propriétés chromatiques des graphes et l'existence de certains types d'invariants.
En biomathématique, David Sankoff travaille sur des algorithmes pour l'analyse des séquences d'ADN et il a étendu ce domaine, dans le contexte du projet du génome humain, au développement des métho des pour étudier l'évolution de génomes conséquente aux processus de réarrangement chromosomal. Ceci se traduit en développement d'algorithmes (en colla boration avec John Kececioglu et Golpalakrishnan Sundaram) pour trier des permutations utilisant un petit ensemble d'opérations: renversements, transpo sitions, translocations. Sankoff et Vincent Ferretti étu dient les ensembles synténiques de gènes, en collabo ration avec Joseph Nadeau, généticien à Case Wes tern Reserve, et plusieurs étudiants en mathématiques et statistiques. En phylogénie, Sankoff et Ferretti ont développé une méthode d'invariants phylogénétiques nonlinéaires.
En sociolinguisitique, David Sankoff mène un pro gramme pour fournir une méthodologie statistique rigoureuse pour l'analyse de la variation syntaxique et phonologique dans la langue parlée, à partir des transcriptions informatisées de corpora de discours libre. Avec David Rand, il a développé et distribué un logiciel (GoldVarb) pour l'analyse linguistique de don nées. Ses intérêts empiriques comprennent la syntaxe bilingue, spécifiquement des méthodes pour distin guer l'alternance de codes de l'emprunt, et l'étude de particules de discours.
En utilisant des méthodes interdisciplinaires, Dana Schlomiuk a entrepris de construire des outils adaptés à l'analyse globale des systèmes dynamiques polynomiaux sur le plan. En alliant des concepts algébro-géométriques à la théorie des bifurcations, D. Schlomiuk est en train de construire des outils per mettant de mieux comprendre la géométrie globale des systèmes et donnant une meilleure organisation des bifurcations intervenant dans des familles de sys tèmes dynamiques. Les travaux de Dana Schlomiuk, ainsi que de ceux avec ses collaborateurs J. Pal ou avec Y. Dupuis dans cette direction, permettent la compré hension de la dynamique globale de certaines classes de systèmes nonlinéaires quadratiques. Les méthodes développées conviennent bien au problème de l'inté grabilité algébrique des systèmes et des travaux ont été initiés dans cette direction. D'autres travaux du projet visent l'étude des singularités centres (un tra vail avec L. Farell est en cours de réalisation) ainsi que le recollement et la resommation d'intégrales premiè res locales au voisinage d'une singularité ou globales.
Elisa Shahbazian est responsable de la conception, du choix des priorités et de la coordination de toutes les activités de recherche et développement à Lockheed Martin Electronic Systems Canada (LMESC). La firme LMESC est un leader dans l'intégration et la gestion de programmes et systèmes complexes. Ces systèmes requièrent l'application de technologies de l'analyse d'image et de fusion de données pour améliorer leurs processus décisionnels: (a) par l'intégration de l'information de multiples sources disparates pour obtenir le maximum d'information sur les phénomènes observés (niveau 1 de la fusion des données ou «fusion des données multi-sources»); (b) par l'évaluation et par l'analyse des significations de ce phénomène (niveaux 2 et 3 de la fusion ou «mesure de la situation et des risques»); et (c)par la proposition d'actions à prendre pour mieux cerner la situation (niveau 4 de la fusion ou «gestion des ressources»).
Elisa Shahbazian dirige une équipe de 10 cher cheurs se spécialisant dans divers domaines de la fu sion de données et de l'analyse d'image et une autre équipe d'ingénieurs qui construit l'infrastructure d'or dinateur à haute performance nécessaire pour démon trer les possibilités de prise de décision améliorées pour les programmes et systèmes complexes d'inté rêt pour LMESC.
Ses intérêts de recherche récents sont en fusion de données multi-récepteurs (MSDF) et l'analyse et le choix de techniques et d'architectures MSDF pour l'in tégration à des systèmes existants où la gestion de données est faite par des méthodes conventionnelles. MSDF est une technologie extrêmement prometteuse dont les applications vont du militaire au commercial, de la vision par ordinateur et diagnostiques mé dicaux aux structures intelligentes et à la reconnais sance d'image par satellites, et à la surveillance, à la recherche et à la rescousse.
Comme technologie, MSDF est en fait une inté gration et une application de plusieurs disciplines tra ditionnelles et de nouveaux domaines de l'ingénierie ayant pour but de réaliser la fusion de données. Ces domaines incluent la théorie de la communication et de la décision, l'épistémologie et la gestion de l'incer titude, la théorie de l'estimation, le traitement du si gnal digital, l'informatique et l'intelligence artificielle. Les méthodes pour représenter et traiter le signal ve nant de récepteurs dissemblables sont adaptées de ces disciplines pour réaliser la fusion des données.
Le domaine de l'analyse nonlisse, introduite dans les années 70 par F.H. Clarke, étend les outils du cal cul aux fonctions qui ne sont pas différentiables, et possiblement même non continues, et qui échappent donc aux méthodes de l'analyse classique. Il y a eu plusieurs applications importantes de cette théorie reliées à la géométrie: en optimisation, en contrôle, et sur les systèmes dynamiques en général (théorie de l'invariance et l'existence d'équilibres). Ron Stern, en collaboration avec F.H. Clarke, Yu.S. Ledyaev, P.R. Wolenski, and J.J. Ye, a contribué à ces domaines dans les dernières années. Actuellement il travaille sur la construction des lois de rétroaction du contrôle dans certains problèmes de contrôle en utilisant les outils de l'analyse nonlisse.
Le principal domaine de recherche de John Toth est l'étude du comportement asymptotique semi-clas sique des hamiltoniens intégrables quantiques. En particulier, son travail est consacré à obtenir des bor nes ponctuelles pour des fonctions propres conjointes en termes de puissances fractionnaires du paramètre semi-classique. Il travaille également sur des bornes similaires pour les fonctions propres de Toeplitz sur les variétés CR compactes.
Les techniques pertinentes font intervenir les es timés microlocaux de type Carleman pour les trans formées FBI des fonctions propres.
La fusion de données provenant de senseurs dissimilaires permet d'atteindre une synergie optimale qui aboutit à un meilleur pistage et une identification de la plate-forme ciblée à la fois plus rapide et plus sûre. Une suite d'algorithmes choisis pour les senseurs de la frégate canadienne est présentement à l'étude pour l'avion de surveillance canadien Aurora (CP-140). Parmi les nouveaux défis propres à cette plate-forme, il faut noter la présence de senseurs à imagerie (infra -rouge et ouverture synthétique) qui nécessite des al gorithmes de reconnaissance de formes, de même que la présence d'un taux de faux contacts plus élevé dû aux vagues et une densité de cibles généralement plus élevée. En effet, distinguer et identifier plusieurs ba teaux de formes différentes en formation rapprochée dans une mer houleuse posent des problèmes accrus comparativement à reconnaître des avions bien sépa rés dans un ciel clair.
Les intérêts de recherche de Carolyne Van Vliet ont porté sur les deux sujets: (i) développement des équations cinétiques pour les propriétés de transport dans les systèmes à l'état solide, avec calculs détaillés de la conductance électrique dans de tels systèmes, et (ii) fluctuations du courant électrique (appelées «bruit électrique») dans de petits systèmes et appareils.
Toutes les équations cinétiques en mécanique statistique sont basées sur deux modèles. Dans le premier modèle, on considère, comme l'ont déjà fait Liouville et Von Neumann, toutes les interactions et les champs externes pour le cas à plusieurs corps. Alors que cela nécessite un hamiltonien plutôt complet pour tout le système, l'avantage réside en la linéarité des équations obtenues, de sorte que les outils de l'ana lyse fonctionnelle peuvent être utilisés. Dans le deuxième modèle, on étudie, dans la plupart des cas, le comportement de quasi-particules, comme les élec trons «habillés» qui sont virtuellement indépendants, une méthode trouvée par Boltzmann. Les énergies d'une particule sont facilement mises en formule ma thématique, mais les équations cinétiques qui en ré sultent sont d'ordre au moins quadratique en les ter mes de collision. De nouvelles versions quantiques de cette approche ont été trouvées avec succès par Van Vliet et Vassilopoulos.
Les bruits courts ou thermiques, et leurs effets combinés dans les conducteurs mésoscopiques quasi -uni-dimensionnels, ont été étudiés par Van Vliet et Sreenivasan. Leurs travaux sont à la fine pointe de la recherche actuelle sur les conducteurs et appareils électroniques ultra-petits. Le premier résultat de basse fréquence a été trouvé par Landauer et Martin. Nous avons généralisé et amélioré l'approximation d'abord utilisée par Kuhn et Reggiani, en se servant de méthodes de champs quantiques, et nous avons obtenu des résultats à l'équilibre et hors d'équilibre sous l'action de champs, qui sont valides jusqu'au terahertz (1012 hz). De plus, nos formules sont en total accord avec celles aux basses fréquences de Landauer et Martin.
Les objectifs principaux des projets de recherche de Luc Vinet sont:
Luc Vinet et son étudiant au doctorat, Luc Lapointe, ont franchi cette année une étape majeure vers la résolution algébrique du modèle de Calogero-Sutherland et, ce faisant, ont démontré des conjectures de longue date portant sur des polynômes symétriques parmi les plus importants de la combinatoire algébrique. Avec Roberto Floreanini (Trieste) et Jean LeTourneux, Luc Vinet a poursuivi son étude systématique de l'interprétation des q-fonctions spéciales en termes des groupes quantiques. Il a également entrepris l'étude des symétries des équations aux différences.
Les groupes de Lie en tant que groupes de symé trie des équations différentielles offrent des outils puis sants pour résoudre de telles équations, particulière ment lorsqu'ils sont utilisés avec la théorie des singu larités et les autres outils de la théorie moderne de l'intégrabilité. Pavel Winternitz, avec Decio Levi (Univ. de Rome III) et Luc Vinet, travaille à développer le formalisme analogue pour les équations aux différen ces finies. Deux approches sont considérées simulta nément. La première s'applique aux équations avec dérivées et différences contenant des variables conti nues et discrètes. Les transformations contenant des variables continues sont traitées à l'aide des algèbres de Lie, alors que les discrètes sont traitées globalement. Dans la seconde approche, toutes les variables sont continues mais leurs incréments sont discrets et donc ce sont des différences qui interviennent plutôt que des dérivées. Le groupe de symétrie est alors cons truit par les techniques de «prolongation discrète», une adaptation des techniques de Lie usuelles pour les équations différentielles. Pour retrouver toutes les symétries de Lie ponctuelles d'une équation différen tielle dans la limite continue, il est nécessaire de con sidérer une classe de symétries beaucoup plus large dans le cas discret. Les symétries agissent simultané ment sur le réseau entier et non seulement en un seul point.
Le domaine de recherche de Yannis Yatracos est le problème d'estimation intrinsèquement associé avec le rééchantillonage qui donne la motivation pour la méthode utilisée afin d'évaluer la qualité des échan tillons et des estimateurs ainsi obtenus. Pour une grande classe de modèles, on montre que, lorsque la dimensionalité d du modèle augmente, la qualité de l'échantillon obtenu par rééchantillonage se détériore comparée avec celle de l'échantillon original, et il est moins probable que l'estimateur par rééchantillonage soit près de la cible. En particulier, la qualité de l'échan tillon obtenu pour le cas d'une loi uniforme est com parable avec celle d'un échantillon d'un modèle de dimension infinie. On introduit finalement des mesu res pour déterminer l'efficacité des estimateurs obte nus par rééchantillonage et la compatibilité des diffé rents modèles avec le rééchantillonage.
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29 mai 1998, webmaster@CRM.UMontreal.CA