Résumé

L’objectif de cette conférence est de présenter un aperçu de certains développements mathématiques ayant contribué à l’étude de systèmes de populations en évolution tels que ceux soulevés par la biologie moléculaire et la théorie d’évolution en biologie, en économie évolutive et en calcul évolutif. Les formulations mathématiques de ces modèles ont permis le développement de classes de processus stochastiques qui sont suffisamment riches pour décrire des populations en interaction munies de structures spatiales et hiérarchiques ainsi que leurs structures généalogiques. Ces processus sont formulés en terme de systèmes de particules en interaction et de processus markoviens à valeurs mesures sur des espaces structurés. Au cours des dernières vingt-cinq années des outils fondamentaux ont été développés pour l’étude des systèmes de particules et les processus à valeurs mesures. Ces outils incluent les problèmes de martingales, les processus duaux, les représentations des systèmes dénombrables de particules, les représentations canoniques, les mesures de Palm, les méthodes de couplage, les asymptotiques multiéchelles, les grandes déviations, etc. L’utilisation de ces méthodes a permis un important progrès de la compréhension de certain

es classes universelles de comportements des systèmes spatiaux hiérarchiquement structurés selon plusieurs environnements et plusieurs échelles spatiales et temporelles. Ces dernières années l’étude de classes d’interactions plus complexes a bien progressée mais le développement et l’analyse de ce type de populations demeurent pour l’avenir un sujet de recherche difficile mais stimulant.

Abstract

In this lecture we give an overview of some mathematical developments that have been motivated by and contributed to the study of evolving population systems such as those that arise in molecular and evolutionary biology, evolutionary economics, and evolutionary computation. Mathematical formulations of these systems have led to classes of stochastic processes that are sufficiently rich to describe spatially and hierarchically structured interacting populations and their genealogical structures. These processes are formulated in terms of interacting particle systems and measure-valued Markov processes on structured spaces. Basic tools for the study of particle systems and measure-valued processes have been developed over the past 25 years. These include martingale problem methods, dual processes, countable particle representations, canonical representations,