Les fractals

La géométrie fractale est basée sur l'idée d'invariance d'échelle qui signifie qu'une figure est la même (elle est invariante) quelle que soit l'échelle à laquelle on l'observe. Autrement dit, la figure est construite en répétant un même motif à des échelles de plus en plus petites. La fougère est sûrement l'un des meilleurs exemples pour comprendre cette idée: une petite partie de la figure agrandie redonne la figure originale (ou si l'on veut, la partie contient le tout). Un objet qui possède cette propriété est appelé un fractal. D'un point de vue mathématique, la répétition des motifs à des échelles de plus en plus petites peut se poursuivre jusqu'à l'infini. Dans la réalité, toutefois, la répétition s'arrête après un certain nombre de sauts.

Une construction fractale est extrêmement intéressante pour des raisons "d'efficacité". Par exemple, si l'on veut insérer la plus grande feuille possible dans le plus petit volume possible, en la pliant de telle sorte que ses faces ne se touchent jamais, il faut lui donner une forme fractale. De plus, les instructions pour un tel pliage sont très simples (et s'écrivent en très peu de mots) puisqu'il suffit d'indiquer qu'il faut répéter un même motif de pliage plusieurs fois de suite. C'est sûrement pourquoi on retrouve beaucoup d'objets fractals dans la nature: les instructions pour leur croissance peuvent être codées en très peu de place dans l'ADN.

Cette auto-répétition d'une même structure peut aussi s'appliquer à des phénomènes qui varient dans le temps. Par exemple, les fluctuations boursières possèdent une structure fractale statistique, c'est-à-dire que les fluctuations sur une année sont similaires en moyenne à celles sur un mois, ou à celles sur une journée, ou encore à celles sur une heure. Autrement dit, si on "agrandit" les fluctuations sur une journée on obtient des fluctuations qui pourraient très bien être celles d'une année. Attention, ceci n'est pas toujours vrai. Prenons une scie par exemple: si on sélectionne une petite portion de la lame de la scie (une dent) et qu'on l'agrandisse, on n'obtient pas du tout une nouvelle scie mais seulement une dent très grosse! En d'autres mots, sur une scie il n'y a pas de dents sur les dents sur les dents, etc.

Même si dans certain cas l'invariance d'échelle n'est que statistique (fluctuations boursières, côtes marines, nuages), elle est quand même rigoureusement définie à l'aide de ce qu'on appelle la dimension fractale, qui mesure en quelque sorte le degré de "rugosité" des fluctuations ou des frontières de l'objet.

Stéphane Durand