L'auteur

En ouvrant lentement les yeux, nous exerçons un filtrage variable qui, à partir du noir total permet de voir progressivement la page, les lignes, les mots, les lettres, la ponctuation, la texture du papier, etc. Ce filtrage, qui varie avec l'échelle des objets, a permis d'ajouter progressivement des détails qui ont augmenté la quantité d'informations relativement à ce document. D'ailleurs, on peut se demander si l'information sur la trame du papier était nécessaire pour comprendre le sens du texte. Derrière ces simples observations se cachent des questions plus fondamentales qui ont alimenté (et continuent d'alimenter) la recherche en imagerie mathématique. La théorie des ondelettes est devenue le cadre de certains problèmes, en mathématiques pures ou appliquées, qui reposent sur la décomposition « en détails » des objets étudiés. C'est en effet en additionnant les détails acquis à des échelles de plus en plus fines que nous vous invitions à regarder cette page dont l'information principale repose, d'ailleurs, sur un nombre limité de détails, excluant, par exemple, la trame du papier.

Les ondelettes sont des fonctions mathématiques. Elles furent découvertes dans le but d'analyser des signaux composés de fluctuations très localisées dans un signal lisse et régulier. Jusqu'au milieu des années 80, les outils habituels du traitement du signal reposaient essentiellement sur l'analyse de Fourier et les fonctions trigonométriques parfaitement adaptées au traitement des signaux stationnaires, dont les caractéristiques persistent dans le temps ou dans l'espace comme, par exemple, une note de musique ou une onde radio. L'analyse de Fourier ne pouvait pas répondre efficacement à l'étude de fluctuations isolées.

La théorie des ondelettes allait contourner cette difficulté : les ondelettes sont aux variations locales ce que la fonction sinus est aux oscillations périodiques. Ce nouveau type d'analyse, proposé par Alex Grossman et Jean Morlet en 1981 pour l'analyse de signaux sismiques, fut baptisé « ondelette » par Y. Meyer qui en fit un des chapitres les plus passionnants de l'analyse harmonique. Les ondelettes allaient rapidement rejoindre certaines techniques utilisées dans la représentation des images grâce aux travaux d'Ingrid Daubechies et de Stéphane Mallat. Sous l'impulsion d'une technologie où l'imagerie numérique prend une place de plus en plus grande, les problèmes de codage (pour la transmission), de compression (pour l'archivage), d'estimation (pour la restauration d'images floues ou entachées de bruit) et de détection (pour extraire l'information en vue d'une décision) étaient autant de domaines où les ondelettes furent rapidement mises à contribution. D'ailleurs, durant votre prochaine séance de navigation sur le Web, observez les images qui apparaîtront en « couches » successives, à des résolutions de plus en plus fines P les mathématiques des ondelettes sont derrière cette technique de transmission !

Cancer

L'analyse par ondelettes pourrait avoir des applications particulièrement importantes en imagerie médicale. Par exemple, les mammographies (radiographie du sein) font partie des outils de diagnostic importants, voire indispensables, pour la détection précoce du cancer du sein. L'expertise du radiologue consiste à assimiler une multitude d'informations provenant du dossier médical ou ayant été lues sur film. L'ensemble de ces informations est complexe et pas entièrement quantifiable.

Par contre, les radiographies numériques acquises directement sur ordinateur offrent aujourd'hui des possibilités de « seconde lecture » jusqu'ici impensables. Loin de se substituer à l'expertise du médecin, les outils d'analyse mathématique en imagerie visent à apporter des informations sur des propriétés difficilement mesurables à l'oeil nu. C'est dans cette perspective que les ondelettes, véritables « microscopes mathématiques », se présentent aujourd'hui comme une des composantes mathématiques parmi les plus intéressantes pour mettre au point des techniques fiables d'aide au diagnostic.