HISTOIRE

Théorème de
Fermat
par Henri Darmon

Un des plus fameux problèmes des mathémathiques, vieux de plus de trois siècles, a été élucidé en 1993.

L'auteur

Henri Darmon est professeur au département de mathématiques de l'Université McGill.

Pour en savoir plus www.math.mcgill.ca/darmon

 

Le 23 juin 1993, à l'Institut Isaac Newton à Cambridge, Andrew Wiles achève le dernier de ses trois exposés sur les « Courbes elliptiques, formes modulaires et représentations Galoisiennes » . Sujet passionnant... pour les initiés. Mais curieusement, la salle est bondée. Les journalistes des plus grands quotidiens britanniques ont tous été conviés en hâte. Il règne une atmosphère d'attente presque fiévreuse.

De sa belle écriture soignée, Andrew Wiles inscrit alors au tableau noir :

Un tonnerre d'applaudissements éclate dans la salle pour saluer ce moment historique. Le professeur de l'Université Princeton vient de résoudre un des problèmes les plus célèbres de l'histoire des mathématiques : le théorème de Fermat est enfin prouvé !

L'origine du théorème

Le problème était apparu en 1637 sous la plume de Pierre de Fermat, juriste toulousain et mathématicien amateur. Presque à lui seul, Fermat a ressuscité la théorie des nombres, qui avait été délaissée depuis l'Antiquité. Durant la lecture d'une traduction latine de l'Arithmetica du grec Diophante, Fermat tombe sur une étude des solutions de l'équation x2 + y2 = z2. Plus précisément, les solutions en entiers positifs. Les nombres 3, 4 et 5, par exemple, en constituent une solution : 32 + 42 = 52. Y en a-t-il d'autres ? Selon Diophante, il existe une infinité de solutions : (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), etc.

Mais si l'on change l'exposant de l'équation, la situation devient très différente. Fermat démontre en effet que l'équation x4 + y4 = z4 ne possède aucune solution. Il n'existe aucun ensemble de trois nombres entiers, plus grands que zéro, satisfaisant à cette équation; essayez-le, vous verrez ! Peut-être enhardi par ce succès, Fermat affirme qu'il en va de même pour l'équation xn + yn = zn, dès que l'exposant n est plus grand que 2. Affirmation très forte - qui exige une preuve ! Fermat a-t-il réussi à prouver ce théorème ? On l'ignore, car il ne publie rien. Dès lors, et pendant plus de 350 ans, les plus grands mathématiciens s'acharneront à établir, de fašon formelle, la preuve du théorème de Fermat.

L'Académie des sciences de Paris, puis la fondation Wolfskehl, en 1908, offrent des récompenses pour la démonstration de ce théorème, conférant au problème un prestige considérable.

Aux XVIIIe et XIXe siècles, les cas des exposants n = 3, 5 et 7 sont résolus. En 1857, un mathématicien allemand, Kummer, fait franchir un pas décisif au problème en démontrant le théorème de Fermat pour tout exposant plus petit que 100. Pour ce faire, il utilise les nombres complexes. Ces entités mathématiques, qui utilisent le nombre imaginaire -1, ont été développées pour l'étude de certains problèmes très particuliers (essayez d'extraire la racine carrée de -1 à la calculatrice).

De plus, en étudiant le théorème, Kummer met en évidence des nombres dits cyclotomiques qui apparaissent lorsqu'on décompose en facteurs la partie gauche de l'équation (xn + yn). Il se lance alors dans une étude approfondie de ces nombres qui dépasse bientôt largement le cadre du théorème de Fermat.

Quarante ans plus tôt, Évariste Galois, un jeune Français mort en duel à 21 ans, avait développé la notion de groupe, dans un mémoire rédigé la nuit précédant son duel. On appelle groupe l'ensemble des opérations que l'on peut faire sur un objet sans que sa forme soit affectée. Par exemple, les rotations de 90 degrés pour un carré. Or il s'avère que les nombres cyclotomiques de Kummer constituent un groupe particulièrement simple, qu'on appelle groupe abélien.

Au début du XXe siècle, la théorie des groupes abéliens est développée par divers mathématiciens. Leurs travaux culminent dans les années 50, avec la formulation définitive de la théorie du corps de classe, qui est un puissant outil de classification. Dans la seconde moitié du siècle, les idées de Weil, Shimura et Langlands permettent une vaste généralisation de cette théorie du corps de classe aux groupes non abéliens, plus difficiles à traiter. De plus, en travaillant sur l'idée de Langlands, certains en viennent à s'intéresser à la conjecture de Shimura-Taniyama. (Une conjecture est un énoncé vraisemblable qu'on n'arrive pas à démontrer.)

Ces développements semblent bien éloignés du théorème de Fermat. Pourtant, ils s'inscrivent tous dans le mÉme grand mouvement d'idées dont l'origine se trouve dans ce petit problème isolé du XVIIe siècle. Les nombreux rejetons du théorème - nombres cyclotomiques, groupes abéliens, conjecture, etc. - ont peu à peu perdu les traits de famille, gagnant en autonomie et reléguant Fermat aux oubliettes de l'histoire. Et pourtant...

Retour aux sources

En 1985, coup de théâtre : Frey présente un argument convaincant selon lequel le théorème de Fermat serait un cas particulier de la conjecture de Shimura-Taniyama. Ainsi, après un détour de plus de trois siècles, la théorie des nombres est revenue à une de ses sources originales d'inspiration, armée d'outils modernes. Mais la conjecture de Shimura-Taniyama semble rester indémontrable... jusqu'à la conférence d'Andrew Wiles, le 23 juin 1993. À l'Institut Isaac Newton, le tonnerre d'applaudissements s'apaise. Les pessimistes s'inquiètent de la solidité des démonstrations. Les autres rêvent aux découvertes qu'engendrera cette percée. Mais l'allégresse du moment ne concerne ni le passé, ni l'avenir, mais bien le triomphe de Wiles, en ce 23 juin. Cette démonstration représente le couronnement de la théorie des nombres du XXe siècle, un témoignage de la grandeur et de l'unité des mathématiques.

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