des noeuds

par Christiane Rousseau

L'auteur

Christiane Rousseau est professeure
au département de mathématiques
et de statistique et membre du
Centre de recherches mathématiques
(CRM) de l'Université de Montréal.
Elle se spécialise en théorie des
systèmes dynamiques, c'est-à-dire
les systèmes qui évoluent dans le temps

Pour en savoir plus

www.cs.ubc.ca/spider/scharein/

Introduite au XIX^e siècle, notamment par le mathématicien allemand C.F. Gauss, la théorie des noeuds a d'abord été utilisée pour modéliser des fils électriques enroulés. Ce n'est cependant que dans les années 30 que la théorie des noeuds se développe comme une théorie purement mathématique. Depuis quelques années, elle trouve des applications dans plusieurs domaines, notamment en biologie moléculaire.

Support du code génétique, l'ADN peut atteindre une longueur de un mètre dans un noyau de cellule d'à peine quelques micromètres. La fameuse double hélice est donc étroitement enroulée dans la cellule. Lorsqu'un certain nombre de processus biologiques agissent sur une classe d'enzymes appelés topoisomérases, l'enzyme coupe les brins d'ADN, leur fait subir un certain nombre de croisements et les recolle. C'est le cas lors de la réplication de la cellule, la séparation des brins ne pouvant être faite sans couper plusieurs fois l'un ou les deux brins d'ADN.

Or chaque topoisomérase a une action qui lui est propre. Devant un paquet de molécules nouées et entrelacées - le résultat de l'action des topoisomérases -, comment le biologiste peut-il faire pour déterminer l'action de chaque topoisomérase ? Il doit mettre des « lunettes mathématiques ».

Pour identifier un noeud, on le compare aux noeuds simples qui sont dans les tables de noeuds. Cependant, l'observation d'une molécule au microscope électronique ne permet pas de déterminer quels brins passent au-dessus et quels brins passent en dessous (voir la figure). En outre, un même nœud peut se présenter de plusieurs façons diffèrentes. Comment identifier les noeuds observés ? Ensuite, à partir de la connaissance du type de molécules nouées ou entrelacées obtenues dans l'expérience, comment peut-on caractériser l'action de l'enzyme ?

Ensemble, spécialistes de la biologie moléculaire et théoriciens des noeuds travaillent à répondre à ces questions. Dans un cas particulier - l'enzyme Tn3 Resolvase-, l'action de l'enzyme a été caractérisée par le mathématicien de Witt Sumners. Les résultats font appel à des techniques mathématiques très sophistiquées. En particulier, le théorème de Sumners a aussi permis de prévoir la présence de molécules nouées à la manière du noeud 6², qui apparaîtraient après quatre actions successives de l'enzyme. À la suite de cette prévision, on a effectivement observé ces molécules ainsi nouées.

Mais comment décider si le noeud que l'on a sous les yeux est bel et bien le noeud 6² des tables de noeœuds ? Il existe des tables de noeuds construites selon le nombre minimum de croisements des noeuds. Peu importe les déformations que l'on fait subir au noeud, il n'est pas possible de diminuer ce nombre de croisements : c'est une des caractéristiques du nœud. Par exemple, dans la table des noeuds, il y a trois noeuds premiers à six croisements : le noeud 6²"est le deuxième de cette série.

Mais la table de noeuds n'est pas une panacée : il existe en effet 12 965 noeuds premiers de 13 croisements ou moins ! Et un noeud à 13 croisements est un nœud simple pour qui observe la complexité de la nature. Rajoutons quelques croisements et on excède la puissance des ordinateurs.

Les questions de classification des noeuds sont donc loin d'être résolues dans le cas général. Cela a forcé les théoriciens des noeuds à chercher des méthodes de plus en plus puissantes pour déterminer l'équivalence de deux noeuds. L'une des méthodes consiste à introduire des invariants, pour les caractériser. Un invariant que nous avons dèjà rencontré est le nombre minimum de croisements d'un noeud. Mais cet invariant ne détermine pas un noeud de façon unique. En effet, si le nombre minimum de croisements de deux noeuds est le même, cela ne veut pas dire que les noeuds sont équivalents. Des informations plus fines sont nécessaires.

Une des percées majeures des dernières années a été l'oeuvre de Vaughan Jones, un mathématicien travaillant en mécanique statistique. Il a découvert, par une méthode tout à fait détournée, un nouvel invariant des noeuds. Cet invariant, appelé polynôme de Jones, était le plus puissant des invariants connus jusqu'alors. Les travaux de Jones, qui lui ont valu en 1990 la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, ont par la suite ouvert tout un nouveau champ de recherche aux théoriciens des noeuds.

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