Description complète

À l’heure actuelle, un collection d’idées reliant les théories de la gravité quantique sur la courbure négative des espaces-temps aux théories quantiques des champs conformes sur leurs bords est un cadre théorique établi de façon cohérente et ferme pour ce qui est de la physique fondamentale. La conjecture AdS/CFT a pour hypothèse, l’équivalence exacte entre la théorie des cordes de type IIB sur ${\it AdS}_5\fois {S}^5$ et la théorie Yang-Mills maximalement supersymétrique sur les bords, et elle aboutit à la réalisation concrète du principe holographique. Elle est appuyée par un grand nombre de calculs explicites de spectres et d’autres résultats physiques observables et a mené à un grand nombre de nouvelles observations autant en gravité quantique qu’en théorie des champs. Simultanément, tant de questions restent en suspens (sauf pour la preuve mathématique de la conjecture en soi qui vraisemblablement conduirait à de profondes nouvelles observations mathématiques) qui occuperont les physiciens et mathématiciens pour encore un long moment. L’intégrabilité a émergé au cours de la dernière décennie comme étant un des plus puissants outils pour les progrès dans des parties du véritable régime à fort couplage de la dualité. Cela n’a pas toujours été le cas.

L’idée que les problèmes mathématiques de la gravité quantique puissent ultimement et pour le meilleur, être liés aux carences de la théorie quantique des champs est née il y a environ quarante ans lorsque les premiers modèles à double résonance à fortes interactions se sont développés en théorie des cordes pour devenir candidat à une théorie de la physique fondamentale en entier. L’indice que la théorie de l’interaction forte de la QCD a réussi à l’expérimentation demeure liée aux cordes, est une observation de ‘t Hoot que les diagrammes perturbatifs de Feynman réorganisent en diagramme planaire d’expansion dans la limite -$N$ large.

Parallèlement, ce qui pourrait aujourd’hui être interprété comme étant les premiers indices que la gravité quantique devrait être holographique, a lentement commencé à émerger dans les années 70, en commençant par la découverte de la branche du droit pour l’entropie des trous noirs de Bekenstein et Hawking et le développement du travail n de Polyakov, 't Hooft, Susskind et autres. Depuis longtemps, le consentement général a été freiné à cause de l’absence d’un modèle explicitement calculable dans lequel la réduction du nombre de degrés de liberté pouvait être vérifié quantitativement. Cette situation a changé de façon dramatique avec les travaux de Maldacena qui ont fait date. Déclenché en partie par la découverte de D-Brane et par l’explication microscopique de l’entropie du trou noir dans la théorie des cordes, Maldacena a proposé une équivalence quantique exacte entre la théorie des cordes de type IIB dans l’espace anti de Sitter et la théorie Yang-Mills maximalement supersymétrique aux bords. Cette dualité a réussi un grand nombre de tests quantitatifs (incluant les spectres de chiral et les opérateurs non-BPS, les fonctions de corrélation, les valeurs moyennes des boucles de Wilson, les propriétés thermodynamiques et plusieurs autres) qui ont également été généralisés et pris de l’expansion dans plusieurs directions.

La découverte que les structures intégrables sont présentes dans certains sytèmes physiques qui se produisent dans la nature a conduit, depuis la fin des années 60, à un grand nombre d’activités théoriques sur ces types de systèmes qui sont tous deux exactement solubles et affichent une stabilité remarquable, malgré qu’ils soient des systèmes interactifs véritablement non-linéaires souvent avec un nombre infini de degrés de liberté. La principale technique applicable aux systèmes classiques est la méthode de diffusion inverse de Riemann-Hilbert, tandis que les systèmes de mécanique quantique sont généralement résolus par des techniques de factorisation (Bethe ansatz, etc.) Ces deux groupes de techniques sont entrés de façon importante dans les récents développements de la correspondance AdS/CFT.

En effet, les algèbres de dimension infinie ont toujours joué un rôle important dans la théorie des cordes et ont façonné des développements parallèles importants en théorie des champs en cours de route. Par exemple, les travaux des algèbres de Virasoro et super-Virasoro comme algèbre de jauge de la théorie des cordes perturbative a mené au développement d’algèbres d’opérateurs vertex et les théories conformes des champs rationnels à deux dimensions demeurent des exemples classiques de modèles solubles en théorie quantique des champs. Autrement, les systèmes intégrables ont commencé à jouer un rôle fondamental en théorie topologique des champs et en théorie des cordes après les travaux sur la théorie de l’intersection de Witten et Kontsevich dans les courbes algébriques des espaces de modules. L’apparence des systèmes intégrables sur les deux côtés de la correspondance AdS/CFT ainsi que la relation remarquable entre la théorie supersymétrique à quatre dimensions et la théorie quantique des champs à deux dimensions intégrables initiées par Alday-Gaiotto-Tachikawa et Nekrasov-Shatashvili sont les plus récents liens d’une longue chaîne.

Pour un examen complet des structures intégrables de la correspondance AdS/CFT, voir [2]. En théorie des champs, le calcul du spectre de dimensions anormales dans la limite planaire N = 4 du super Yang-Mills est identique à la détermination du spectre de la chaîne de spin intégrable hamiltonienne, généralisant la chaîne de spin Heisenberg (Minahan-Zarembo, Beisert-Staudacher). Du côté de la gravité, la théorie des cordes de surface de l’univers hérite des algèbres symétriques à dimension infinie de l’espace cîble à haute symétrie du modèle sigma (Metsaev-Tseytlin, Bena-Polchinski-Roiban). L’exploitation de l’intégrabilité permet de tester la correspondance des régimes d’espace de paramètres qui s’étendent au-delà des standards des schémas d’approximation de l’une ou l’autre des théories.

Les progrès dans ce domaine ont mené à la formulation d’équations exactes pour le spectre complet des dimensions anormales de N = 4 SYM et des modèles ABJM (AdS/CFT système Y, thermodynamique de Bethe Ansatz et calcul de la courbe spectrale) ainsi que des progrès considérables dans le calcul des quantités physiques variées: fonctions de corrélation, boucles de Wilson et amplitudes de diffusion. Pour la première fois, nous approchons une solution complète de la théorie de jauge dans la dimension physique.

Les structures intégrables ont aussi fait surface pendant le calcul des amplitudes de diffusion en théorie sypersymétrique maximalle de Yang-Mills comme théorie des cordes en espaces de twisteur. Elles jouent un rôle clé dans le calcul exact des valeurs moyennes des boucles de Wilson et des surfaces de l’univers minimales duales correspondantes.

Les travaux sur la correspondance AdS/CFT sont motivés par des questions fondamentales en physique théorique contemporaine: la solution des conundrums associés aux trous noirs et à la aux débuts de la cosmologie de l’univers du côté de la gravité quantique et l’élevation de la théorie Yang-Mills à un cadre mathématique rigoureux du côté de la théorie des champs. L’importance de ces problèmes est peut-être succinctement résumée par l’attention marquée sur les cîbles de prestigieux prix modernes des sciences: «L’existence de Yang-Mills et la disparité de masse» est un des problèmes non résolus du Prix Millenium Clay et la liste des lauréats du “Fundamental Physics Prize” inclut plusieurs pionniers et contributeurs originaux dans le domaine de la gravité quantique, la correspondance AdS/CFT, les trous noirs, et la cosmologie quantique.

Depuis la proposition initiale de Maldacena, la correspondance AdS/CFT a eu un nombre de succès partiels étonnant en s’attaquant à ces problèmes (sauf pour le dévelopment et les tests sur la conjecture en soi) et a changé fondamentalement l’approche.

Parmi ces changements, la correspondance AdS/CFT a

• montré de nouvelles façons de calculer microcospiquement l’entropie des trous noirs • fourni une nouvelle perspective sur le confinement et la brisure de la symétrie chirale • ouvert des fenêtres de calcul sur les propriétés des plasmas de théories de jauge à couplage fort • donné une définition non-perturbative de la théorie des cordes sur l’espace anti-de-Sitter • essentiellement tranché le débat sur le caractère unitaire de l’évaporation des trous noirs • indiqué des nouvelles approches holographiques à la cosmologie du début de l’univers • raffiné les définitions de la notion de la fonction d’onde de l’univers • déclenché de nouvelles idées pour la physique des particules au-delà du modèle standard (dimensions supplémentaires, etc.)

L’intérêt des physiciens dans la correspondance AdS/CFT a aussi déclenché un nombre fascinant de développements en mathématiques pures, par exemple la géométrie conforme et la géométrie spectrale de certains ensembles de Einstein sous la griffe de Minkowski et Euclidean. De plus, grâce au fait que des solutions supersymétriques de la supergravité peuvent être caractérisées algébriquement (les ensembles de Calabi-Yau comme cônes sur les ensembles de Sasaki-Einstein étant des exemples de prototypes), le sujet a également été raccordé avec un nombre de développements en géométrie algébrique, en théorie de la représentation de certaines algèbres carquoises et plusieurs autres. Finalement, les versions de la correspondance qui opèrent purement au sein de la théorie topologique quantique ont été mises de l’avant, tel que la relation entre les cordes topologiques et la théorie de jauge de Chern-Simons ou les modèles matriciels. En fait, ces correspondances font l’objet d’un cercle d’idées reliés aux problèmes de modules, la théorie de l’intersection des espaces de modules, (moins que maximal) la théorie de jauge supersymétrique avec les systèmes algébriques intégrables, classique et quantique.

Peut-être que le seul objet addapté à ce progrès impressionnant est la liste des problèmes ouverts que l’on souhaite aborder en utilisant la correspondance AdS/CMT. Tandis qu’en principe, apporter des réponses à des questions aussi fondamentales que la résolution des singularités de la classique relativité générale, l’unitarité de la formation du trou noir et son évaporation, les mécanismes détaillés en arrière-plan sont peu compris. Une des questions centrale est l’émergence du «bulk locality» de la perspective de la théorie des frontières comme souligné très récemment (été 2012) sous le titre générant le dit «paradoxe du pare-feu». Un défi majeur reliée est de prolonger la correspondance de sorte qu’elle s’applique non seulement (asymptotiquement) au contexte de l’AdS qui n’est pas réaliste du point de vue de l’observation cosmologique. À l’inverse, tandis que la correspondance AdS/CFT et ses extensions fournissent des duales holographiques pour plusieurs caractéristiques des phénomènes des théories de jauge décrivant notre vrai monde (la QCD et la théorie électrofaible), il n’y a pas (de raison d’espérer pour) de duale exacte capturant toutes les caractéristiques de façon calculable. L’espoir d’appliquer ces méthodes de systèmes intégrables à la situation supersymétrique maximale (et ses variantes, notamment la correspondance reliant la théorie des cordes de type IIA sur AdS_4 x CP3 sur les théories Chern-Simons-Matter (ABJM) à 3 dimensions) est d’éventuellement obtenir une solution exacte sur le cas non trivial le plus simple comme point de départ pour des approximations plus approfondies.

Bibliographie

[1] J.~M.~Maldacena, “The Large N limit of superconformal field theories and supergravity,” Adv. Theor. Math. Phys. 2, 231 (1998)

[2] N. Beisert et al., “Review of AdS/CFT Integrability,” Lett. Math. Phys 99, 3 (2012)