Opers are a remarkable class of connections on algebraic curves, arising in integrable systems, conformal field theory and representation theory, which play a central role in the work of Beilinson-Drinfeld on the Geometric Langlands Correspondence. We will take a tour of some of the different places opers appear, visiting the Hitchin system, Hamiltonian reduction of Kac-Moody algebras, differential operators and the KdV equations, projective structures and the Virasoro algebra, and vertex algebras.

David Goss (Ohio State)

«Recent advances in charp. p arithmetic»

We will discuss recent advances in the theory of the finite characteristic arithmetic associated to Drinfeld modules. Included will be some recent ideas related to a possible Riemann hypothesis for the L-series of such objects. If time permits we will also discuss advances in the associated theory of modular forms associated to Drinfeld modules. In particular, we will discuss Boeckle's association of Galois representations to cusp forms.

Edward Frenkel (UC Berkeley), Chaire Aisenstadt 2001-2002

«Recent developments in the geometric Langlands Program»

In recent years it was realized that the Langlands conjectures (in the function field case) may be formulated geometrically and hence over an arbitrary ground field, for instance, the field of complex numbers. In that case the role of the representation theory of groups over local non-archimendian fields is played by the representation theory of affine Kac-Moody algebras, as can be seen from the recent work of A. Beilinson and V. Drinfeld. In these lectures we will review the geometric Langlands conjectures and various approaches to proving them. We will also discuss the intriguing parallels between the finite field and the complex field settings.

Laurent Lafforgue (IHES), Chaire Aisenstadt 2001-2002

«Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands»

On se propose de présenter les grandes lignes de la démonstration de la correspondance de Langlands pour GL(r) sur les corps de fonctions, généralisant la preuve de Drinfeld dans le cas du rang r=2. On s'attachera en particulier à montrer le rôle des principaux ingrédients de la démonstration:

" la géometrie des chtoucas de Drinfeld et de leurs compactifications;

" la formule des traces d'Arthur-Selberg;

" la formule des points fixes de Grothendieck-Lefschetz;

" les propriétés connues des fonctions L de paires tant du côté automorphe que galoisien.

Robert Langlands (IAS)

«Au-delà de l 'endoscopie»

Grâce aux travaux récents d'Arthur sur l'endoscopie et la formule des traces et à d'autres travaux pas moins importants de grand nombre de mathématiciens sur le lemme fondamental, nous commençons à mieux comprendre non pas seulement comment utiliser la formule des traces pour établir le tranfert des formes automorphes d'un groupe à un autre mais aussi quelle est la vraie portée, en particulier le contenu géométrique ou topologique, des problèmes à première vue technique qu'il faut surmonter.

Il n'en reste pas moins que les méthodes utilisées sont toujours d'un pouvoir limité et ne suffisent pas à la résolution générale des problèmes posés par la fonctorialité, en particulier ceux qui interviennent dans les conjectures d'Artin ou de Ramanujan-Selberg. Elles nous inspirent toutefois une grande confiance dans la formule des traces telle que developpée dans les dernières années et, emporté par cette confiance, mon objectif dans ce cours est de chercher une voie qui nous puisse permettre de dépasser ce qu'on a fait jusqu'a présent. Il s'agit d'une tentative dont le succès n'est guère assuré.

Le cours s'adresse aux jeunes mathématicien(ne)s spécialist(e)s de la théorie analytique ou de la théorie algébrique des nombres ou des formes automorphes et qui veulent travailler dans la théorie moderne des formes automorphes, un sujet ou toutes ces théories se brassent. Quelque connaissance préalable des formes automorphes sur GL(2) sera exigée aussi bien qu'une absence d'idées fixes. Le cours sera en grande partie axé sur un examen d'un point de vue inhabituelle de la formule des traces telle que décrite dans le livre de Jacquet-Langlands.

Alexander Polishchuk (Boston)

«Introduction to perverse sheaves»

In these lectures I will give the definition and present some examples of perverse sheaves in two contexts: (1) complex geometry, (2) algebraic geometry in positive characteristic. I will also discuss the Riemann-Hilbert correspondence (in case (1)) and «faisceaux-fonctions» dictionary (in case (2)).

Christophe Sorger (Nantes)

«Moduli stacks of G-bundles»

After collecting preliminary material on algebraic stacks useful for moduli problems, moduli of G-bundles are introduced and some of the (by now) basic theorems as the uniformization theorem are proved.

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Le lundi 29 avril / Monday, April 29

Le mardi 30 avril / Tuesday, April 30

Le mercredi 1er mai / Wednesday, May 1st

Le jeudi 2 mai / Thursday, May 2

Le vendredi 3 mai / Friday, May 3

Le lundi 6 mai / Monday, May 6

Le mardi 7 mai / Tuesday, May 7

Le mercredi 8 mai / Wednesday, May 8

Le jeudi 9 mai / Thursday, May 9

Le vendredi 10 mai / Friday, May 10

Le lundi 13 mai / Monday, May 13

Le mardi 14 mai / Tuesday, May 14

Résumés /Abstracts

David Ben-Zvi (Chicago)

«Opers»