Survol

La théorie des nombres occupe une position privilégiée en mathématiques et offre une source fertile de questions fondamentales. Parmi les sept problèmes du millénaire proposés par le Clay Institute, pas moins de trois - les conjectures de Birch et Swinnerton-Dyer, la conjecture de Hodge et l'hypothèse de Riemann - proviennent de la théorie des nombres. Les deux dernières décennies en particulier ont été un véritable âge d'or caractérisé par des progrès si nombreux qu'on aurait du mal à en dresser la liste complète. Il suffit d’invoquer les progrès remarquables sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer provenant du travail de Gross-Zagier, Kolyvagin et Kato; les preuves de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil, de la conjecture de Serre, de la conjecture de Fontaine-Mazur et des conjectures de Sato-Tate qui ont succédé à la démonstration de Wiles du dernier théorème de Fermat; les idées révolutionnaires de Bourgain et Gowers en analyse harmonique et en combinatoire additive, la percée de Green et Tao sur les progressions arithmétiques de nombres premiers ainsi que les travaux de Goldston, Pintz et Yildirim, et les améliorations spectaculaires apportées par Zhang, et Maynard et Tao, sur les écarts entre nombres premiers consécutifs. L'objectif de l’année thématique 2014-1015 sera de faire le bilan de tous ces développements récents.

Un des thèmes émergents les plus dynamiques sur lequel il sera important de se concentrer à l’occasion de l’année spéciale, est sur le passionnant sujet du comptage d’objets arithmétiques. En effet, les travaux exploratoires de Bhargava, ont conduit à d’importants résultats sur le comptage des courbes elliptiques de petits rangs, les champs de certains types galois, le comptage des points sur les familles de hautes courbes en genre, etc. L’école d’été exposera plusieurs jeunes mathématiciens à ces idées, avec les conférenciers clés dans le domaine. Il y aura un atelier avancé en novembre et nous espérons recevoir en résidence les meilleurs éléments du domaine pour une partie de l’année spéciale.