Survol

S'appuyant sur plusieurs résultats importants liant les cycles aux coefficients de Fourier de formes modulaires et les valeurs spéciales de fonctions L ou leur dérivés, tel qu'illustrés par les travaux de Gross-Zagier, Hirzebruch-Zagier, Gross-Keating, Kudla-Millson et d'autres, Steven Kudla a formulé un programme général dans les années 90 visant l'étude des propriétés arithmétiques des premières dérivées des séries incohérentes de Siegel-Eisenstein comme point d'accès central, et en les reliant à des cycles arithmétiques de classe spécifique et des fonctions L de valeurs spéciales de Rankin-Selberg. Dans ce contexte, Kudla a aussi introduit les idées de levage arithmétique Theta et de formule arithmétique de Siegel-Weil. Dans les deux décennies suivantes, les facettes importantes de ce programme ont été définies, stimulant l'étude des variétés à basse dimension de Shimura, tel que les courbes de Shimura, les surfaces de Hilbert-Blumenthal et les surfaces modulaires de Picard.

Le programme de Kudla a aussi servi de motivation aux développements en cours pour les modèles de théorie arithmétique et leurs compactifications, et la géométrie d'Arakelov pour les variétés de Shimura. Dans la perspective de ce programme, ce sont les pré-requis essentiels. À l'heure actuelle, plusieurs de ces composantes sont disponibles grâce aux merveilleux efforts d’une communauté active et grandissante de chercheurs.

Le programme Kudla est plus que jamais en cours d'étude intensive avec pour résultat que la littérature publiée prend du retard par rapport aux récents développements. Le but de cet atelier est de fournir une perspective et un survol du programme et d'obtenir un rapport des principaux contributeurs dans ce secteur en rapide évolution.