Survol

La résolution d'équations est un des principaux sujets en mathématiques. Un problème plus général et plus difficile que la résolution d'équations consiste à décrire les formules de la logique du premier ordre qui sont vérifiées pour un groupe donné. Les travaux récents sur les problèmes de Tarski (conduits par Kharlampovich, Miasnikov et Sela) ont donné lieu à un nouveau domaine de recherche nommé "Géométrie algébrique sur les groupes". L'atelier portera sur certaines des méthodes et techniques utilisées pour la résolution de ces problèmes, et sur les progrès en géométrie algébrique des groupes, algèbres de Lie et autres systèmes algébriques.

Une autre avenue de recherche est la théorie des groupes résiduellement libres ou totalement résiduellement libres. Les groupes totalement résiduellement libres (ou groupes limites) à un nombre fini de générateurs jouent un rôle crucial dans la théorie des équations et des formules de premier ordre sur les groupes libres. Ces groupes, qui ont été largement étudiés auparavant, s'avèrent être les objets fondamentaux dans de nouveaux domaines de la géométrie algébrique et de la théorie des modèles des groupes libres. Ces groupes sont précisément les groupes de coordonnées des variétés algébriques irréductibles sur un groupe libre; ils ont la même théorie existentielle qu'un groupe libre non abélien, sont relativement hyperboliques et ont plusieurs propriétés semblables à celles des groupes libres. Plusieurs problèmes algorithmiques peuvent être résolus pour cette famille de groupes. Les groupes résiduellement libres sont des sous-groupes de produits directs d'un nombre fini de groupes pleinement résiduellement libres. Cette caractérisation permet d'en étudier les propriétés. Des progrès immenses ont été réalisés dans ce domaine des mathématiques, mais il reste beaucoup à faire.

Alexander Razborov, titulaire de la chaire André-Aisenstadt, donnera ses conférences pendant l'atelier.

Mini-cours

Equations in solvable groups
N. Romanovskii (Novosibirsk)

Complexity of the diophantine problem in a free group
I. Lysenok (Steklov Institute, Moscow)