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Systèmes intégrables, modèles et algèbres exactement solubles
12 septembre-7 octobre 2022

Ce mois de concentration sera principalement axé sur quatre sujets : (1) Systèmes de boîtes et de boules ; (2) Polynômes multivariés et modèles exactement solvables ; (3) Algèbres de réflexion, algèbre de q-Onsager, algèbre de Heun-Askey-Wilson et systèmes intégrables ; (4) Grassmanien adélique, fonction τ, problèmes énumératifs.

Systèmes de boîtes et de boules

Le système de boîtes et de boules (BBS) découvert par Takahashi-Satsuma est l'un des systèmes intégrables ultradiscrets les plus fondamentaux et peut être discuté de divers points de vue tels que les bases cristallines des algèbres quantiques, la géométrie tropicale, la combinatoire et l'automate cellulaire. En particulier, comme nouvelle perspective, des discussions et des analyses à partir de la théorie des probabilités et de la combinatoire sont activement menées. Les points de vue de la transformation de Pitman en théorie des probabilités pour les systèmes intégrables discrets permettent de considérer le comportement de l'état initial aléatoire du BBS. Un atelier sur les BBS sera l'occasion de discussions directes entre les chercheurs qui poursuivent des travaux connexes et permettra de donner une forte impulsion à ce nouveau développement.

Polynômes multivariés et modèles exactement solvables

Historiquement, une partie importante de la théorie des polynômes orthogonaux classiques a été développée en rapport avec sa pertinence pour la résolution de problèmes spectraux en physique mathématique unidimensionnelle. Plus récemment, des bases importantes pour l'algèbre des polynômes symétriques ont été identifiées comme des états propres de modèles de particules intégrables quantiques sur la ligne ou sur le cercle. L'objectif est de réunir des experts dans des domaines caractérisés par une interaction fructueuse entre la théorie moderne des polynômes orthogonaux multivariés et leurs applications liées à l'étude des systèmes de particules quantiques intégrables, des modèles algébriques et de coordonnées de l'Ansatz de Bethe, des probabilités intégrables et des matrices aléatoires, des chaînes de spin exactement solvables, de la combinatoire des fonctions symétriques et des polynômes de Macdonald (non) symétriques (entre autres).

Algèbres de réflexion, algèbre de q-Onsager, algèbre de Heun-Askey-Wilson et systèmes intégrables

Dans le contexte des systèmes intégrables quantiques, les algèbres de réflexion de Sklyanin ont joué un rôle important ces dernières années. Depuis les années 90, les solutions des matrices K des algèbres de réflexion ont été les éléments de base pour construire les matrices de transfert et les hamiltoniens de chaînes de spin quantiques associés avec des conditions limites intégrables. Les équations de Bethe et les relations TQ sous-jacentes de ces systèmes quantiques ouverts ont été largement étudiées. Cependant, l'intérêt pour les algèbres de réflexion s'étend au-delà de cette application : outre le fait qu'une classification complète des K-matrices universelles est un domaine de recherche actif en mathématiques, il est maintenant clair que les algèbres de réflexion fournissent un cadre efficace pour étudier la théorie des représentations des algèbres de (Heun)-Askey-Wilson, de l'algèbre q-Onsager et de ses analogues de rang supérieur. De plus, des techniques telles que l'ansatz algébrique de Bethe et sa version modifiée peuvent être utilisées pour caractériser les propriétés spectrales de divers opérateurs émergeant de ces algèbres. Ce sujet est étroitement lié à celui des paires de Léonard et des paires tridiagonales et des schémas polynomiaux associés. En particulier, on s'attend à ce que les algèbres de réflexion et les matrices K associées aux algèbres de Lie finies de rang supérieur conduisent naturellement à des généralisations des polynômes orthogonaux. En outre, l'établissement d'une relation précise entre les équations de l'ansatz de Bethe et la théorie des représentations pour ces algèbres devrait fournir de nouvelles informations sur les polynômes orthogonaux multivariés.

Grassmanien adélique, fonction τ, problèmes énumératifs

Le développement de la théorie des systèmes intégrables est profondément lié à la géométrie des variétés de Grassman depuis les premiers travaux de Sato, Segal et Wilson. Dans ce contexte, la notion de fonction Tau est apparue à l'origine comme fonction génératrice de flux commutatifs. Les fonctions Tau peuvent être considérées comme une généralisation poussée de la fonction Thêta de Riemann dans le sens où, dans plusieurs contextes, leur disparition caractérise l'obstruction à la solvabilité d'un problème linéaire associé, profondément lié à la notion de paire de Lax. Depuis leur introduction, la gamme d'applications des fonctions Tau associées à divers systèmes intégrables (comme Kadomtsev-Petviashvili, Korteweg-de Vries et leurs généralisations) s'est étendue bien au-delà du domaine initial. Des applications ont été trouvées dans la théorie des matrices aléatoires et la théorie associée des polynômes multi-orthogonaux, la géométrie énumérative, la combinatoire, la géométrie symplectique, la théorie des déformations isomonodromiques, les probabilités intégrables.

Une semaine de l'atelier célébrera le travail de John Harnad, dont l'activité inspirante dans le domaine des systèmes intégrables et des applications de la théorie des fonctions tau à plusieurs problèmes s'est étendue sur trois décennies.