Survol

[ English ]

Mini-cours sur algorithmes en temps sous-linéaire pour l'approximation de fonctions de plusieurs variables

16 mai 2022 /18 mai 2022

Laboratoire : Mathématiques appliquées

Le cours sera dispensé en format hybride : En personne (avec des places limitées) et via Zoom (le lien sera fourni après l'inscription).

DESCRIPTION: L’acquisition comprimée a suscité un énorme intérêt depuis qu'elle a été proposée pour la première fois par Emmanuel Candès, David Donoho, Terry Tao et d’autres, il y a un peu plus d'une décennie. Ce cadre mathématique trouve ses origines dans (i) l'observation que les applications traditionnelles de traitement du signal, telles que les problèmes d'imagerie par résonance magnétique, traitent souvent de l'acquisition de signaux dont on sait a priori qu'ils sont parcimonieux dans une certaine base, ainsi que (ii) la réalisation ultérieure que ces connaissances pourraient en fait être utilisées pour aider à affiner le processus d'acquisition de signaux en premier lieu (en prenant le strict minimum de mesures de signal nécessaires afin d’identifier puis reconstruire uniquement les coefficients importants). La théorie mathématique qui en a résulté a depuis conduit à des réductions spectaculaires des besoins de mesure par rapport aux approches traditionnelles. Et ceci dans de nombreuses situations où l'on aurait précédemment reconstruit un ensemble plus complet des coefficients d'un signal donné pour ensuite rejeter la plupart d'entre eux comme insignifiants.

Bien qu'extrêmement aptes à réduire le nombre de mesures nécessaires pour reconstruire un signal donné, la plupart des algorithmes d’acquisition comprimée standards représentent toujours individuellement chaque fonction de base pendant la reconstruction numérique du signal. Cela conduit à poser une variante de la question originale orientée vers le calcul qui a conduit au développement de l’acquisition comprimée en premier lieu: pourquoi devrait-on considérer tous les coefficients de base possibles individuellement lors de la reconstruction numérique d'un signal donné quand on sait à l'avance que seuls quelques-uns d'entre eux finiront par être significatifs? En fait, il s'avère que l'on n'a souvent pas à considérer explicitement chaque fonction de base individuellement au cours du processus de reconstruction, et on peut donc réduire à la fois les besoins de mesure *et* la complexité de calcul de la reconstruction du signal pour dépendre du strict minimum de mesures de signal nécessaires afin de reconstruire les coefficients importants dans de nombreux contextes. Cette série de conférences discutera d'une classe de méthodes numériques en temps sous-linéaire qui font exactement cela pour les fonctions qui sont parcimonieuses dans la base de Fourier unidimensionnelle, ainsi que l'extension de ces techniques pour produire de nouvelles méthodes rapides pour approximer les fonctions de plusieurs variables par rapport à la base de Fourier multivariée. Le cours se terminera ensuite par l'extension de techniques similaires pour aborder les fonctions multivariées qui présentent une parcimonie approximative dans d'autres bases polynomiales orthonormées (non-Fourier).

PRÉREQUIS SUGGÉRÉS: La classe sera enseignée à un niveau d'introduction aux cycles supérieurs approprié pour les étudiants au doctorat débutants et au-delà. Les prérequis suivants seront très utiles. 

• Une solide expérience en algèbre linéaire (numérique) 

• Une connaissance pratique des séries de Fourier, des polynômes trigonométriques et des idées de base des espaces de Hilbert 

• Connaissance de la théorie des nombres de niveau de premier cycle et des corps finis (par exemple, le théorème du reste chinois, les polynômes sur les corps finis, etc.)

L’INSCRIPTION EST GRATUITE MAIS OBLIGATOIRE