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Symétries quantiques : catégories tensorielles, théories quantiques topologiques des champs, algèbres vertex
10 octobre-4 novembre 2022

Ce programme intensif est consacré aux applications de la théorie des catégories à diverses variantes de la théorie quantique des champs.

Les mathématiques de la théorie conformes des champs

L'algèbre de Lie des transformations conformes en deux dimensions est de dimension infinie ce qui a des conséquences remarquables pour les théories conformes des champs en 2D (Belavin, Polyakov, Zamolodchikov). De telles théories sont dans de nombreux cas presque entièrement déterminées par la façon dont les champs quantiques se modifient sous les transformations conformes, c'est-à-dire par rapport à l'action de l'algèbre de Virasoro. Plus généralement, la structure algébrique qui sous-tend la théorie conforme des champs est connue sous le nom d'algèbre d'opérateurs de sommets (ou, plus communément, d'algèbre d’opérateurs vertex). Parmi les exemples bien connus, citons celles correspondant à l'algèbre de Virasoro, aux algèbres de Kac-Moody affines et aux W-algèbres.

Une partie importante de la théorie conforme des champs est donc la théorie des représentations des algèbres d'opérateurs vertex et la façon dont leurs structures interagissent avec les applications physiques. Au départ, les chercheurs de ce domaine se sont surtout concentrés sur les théories conformes des champs dites rationnelles qui sont construites à partir d'une catégorie semi-simple finie de modules sur l'algèbre d'opérateurs vertex. Cependant, il existe de nombreuses applications physiques qui ne satisfont pas aux exigences de rationalité. Depuis le milieu des années 90, des classes de théories non rationnelles ont commencé à être explorées, notamment les théories conformes de champs logarithmiques sur lesquelles l'hamiltonien n'est pas diagonalisable. Cette recherche demeure très active en mathématique et en physique mathématique et sera au centre de ce programme intensif.

Symétries quantiques et catégories tensorielles

L'importance des catégories tensorielles en physique mathématique est apparue à la fin des années 80 avec les travaux de Moore et Seiberg sur la théorie conforme des champs et la formule de Verlinde, et au début des années 90 avec les constructions combinatoires de Reshetikhin et Turaev sur les invariants de liens et 3-manifoldes. Dans ce contexte, les catégories tensorielles encodent les symétries des théories conformes des champs et des théories de champs topologiques. Ainsi, tout comme les groupes encodent les symétries classiques, les catégories tensorielles fournissent un langage unifié pour encoder les symétries qui apparaissent dans de nombreux contextes quantiques, y compris ceux mentionnés ci-dessus.

L'étude des catégories tensorielles, en particulier celles liées aux applications susmentionnées (catégories de fusion et catégories tensorielles modulaires), est désormais un domaine extrêmement important, en lien avec les algèbres de Hopf (et les groupes quantiques) et structures relatives. La relation de ces catégories avec les invariants de liens et de nœuds, les théories de Temperley-Lieb-Jones et les représentations des groupes de tresses en fait l'outil mathématique essentiel pour décrire correctement des applications physiques telles que le calcul quantique topologique et les phases topologiques de la matière.

Ces classes de catégories tensorielles sont finies et semi-simples ; elles sont donc judicieuses dans l'étude des théories conformes rationnelles et des théories des champs topologiques semi-simples. Une question importante, au centre des recherches actuelles, est d'identifier des classes de catégories plus générales dont les structures feront progresser notre compréhension des versions logarithmiques et non semi-simples de ces théories physiques. Grâce à la rencontre d'experts internationaux des deux communautés, ce programme intensif fera émerger des collaborations pouvant résoudre cette question cruciale. On espère également de nouveaux résultats dans des applications d'un autre genre. Par exemple, les catégories non semi-simples donnent de nouveaux invariants des liens et des 3-manifoldes intéressants.