Survol

Algèbres non commutatives, théorie des représentations et fonctions spéciales
23 mai - 10 juin 2022

Une grande activité a été déployée récemment dans l'étude des algèbres polynomiales. Il y a quelque temps, lors de l'étude des équations de la méthode de diffusion inverse quantique, Sklyanin a introduit une équation quadratique qui porte son nom. À peu près au même moment, l'étude des algèbres d'Artin-Shelter en tant que généralisations naturelles des anneaux polynomiaux commutatifs a été lancée et s’est poursuivie activement depuis. Les concepts de potentiel et d'algèbre de Calabi-Yau (CY) sont apparus, ce dernier apparaissant dans la géométrie CY (et la théorie des cordes). Ces concepts sont utilisés pour développer la théorie des surfaces non-commutatives, les algèbres jouant en quelque sorte le r ôle d'anneau de "coordonnées". Un problème central est la caractérisation et la classification de ces algèbres. Les algèbres de Sklyanin tridimensionnelles se sont retrouvées au cœur de ces questions, l'étude de leurs représentations permettant en outre de déterminer les vides des déformations marginales des théories de Yang-Mills supersymétriques N=4.

Dans les années 80 également, les algèbres quadratiques qui encodent les propriétés bispectrales des polyn ômes du schéma d'Askey ont été obtenues et ont reçu les noms des polyn ômes correspondants. Ces algèbres sont depuis devenues omniprésentes : on les a vues comme des algèbres de symétrie des modèles superintégrables, des centralisateurs de l'action diagonale dans les produits tensoriels triples de rang 1 des algèbres de Lie, des super-algèbres, des algèbres quantiques ou des algèbres identifiées comme des sous-algèbres coidéales. Leur interprétation en tant que centralisateurs établit des liens avec la théorie classique des invariants et les algèbres du domaine des dualités Schur-Weyl (algèbres de Hecke et apparentées). Ces algèbres sont également apparues en combinatoire algébrique via les paires de Léonard dans la classification des schémas d'association P-polynomiaux et Q-polynomiaux. L'algèbre d'Askey-Wilson qui est l'emblème de ces algèbres est liée à la DAHA (C1v,C1) , au crochet de Kauffman et à l'algèbre de Skein pour la sphère à quatre perforations.

Les algèbres de Skein sont naturellement liées aux théories quantiques topologiques des champs qui seront l'un des sujets de la période de concentration sur les symétries quantiques. Des extensions de plus haute dimension sont en cours d'étude. La notion d'opérateurs algébriques de Heun et les algèbres qu'ils génèrent ont été obtenues dans ce contexte. Cette notion s'est retrouvée dans la description des hamiltoniens de Ruijsenaars-van Diejen et dans les algèbres de réflexion.

Finalement, une relation a été établie entre les deux grands domaines d'exploration décrits ci-dessus, lorsque les opérateurs de Heun ont été vus comme menant aux algèbres de Sklyanin et les opérateurs d'Askey-Wilson identifiés dans ces algèbres. En outre, une généralisation de l'algèbre d'Askey-Wilson, appelée algèbre de Sklyanin-Painlevé, a été récemment introduite pour décrire la quantification des variétés de monodromie de Painlevé. On voit ainsi que l'interprétation algébrique des fonctions spéciales apporte des liens intéressants.

L'objectif de cette période de concentration est de favoriser les avancées dans les domaines de recherche actifs partiellement évoqués ici et de rassembler les diverses communautés qui examinent ces questions selon des points de vue différents.