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Fonctions L p-adiques et systèmes d'Euler, en l'honneur de Bernadette Perrin-Riou

Dans la théorie d'Iwasawa, l'une des questions centrales est l'étude de la conjecture principale d'Iwasawa, qui relie l'idéal caractéristique du motif de Selmer à sa fonction L p-adique (le cas échéant). Cela conduit à des informations sur la conjecture de Bloch-Kato, une généralisation de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer. Des cas de la conjecture principale d'Iwasawa ont été établis à l'aide de la machinerie des systèmes d'Euler, qui constituent un ensemble de classes de cohomologie satisfaisant certaines relations de normes et sont liés à la fonction L d'un motif. Ils ont été introduits et exploités à la fin des années 80 et au début des années 90 dans les travaux de Thaine, Kolyvagin, Rubin et Kato.

Bernadette Perrin-Riou, l'une des figures influentes et pionnière de la théorie d'Iwasawa dans les années 1990, est largement encensée pour les idées influentes qu'elle y a apportées. Son étude approfondie du système d'Euler construit à l'origine par Kato a conduit à l'introduction de sa «grande carte logarithmique» fondamentale (souvent appelée «carte de Perrin-Riou» de nos jours), qui est une généralisation poussée de la série des puissances de Coleman et est l'un des ingrédients clés dans l'établissement de liens entre les systèmes d'Euler et les fonctions L p-adiques. Son travail a également initié l'étude des systèmes Euler de rang supérieur et a été une source d'inspiration pour de nombreux développements futurs dans cette direction. De même, son p-adique analogue de la formule de Gross-Zagier a ouvert un champ d'investigation qui reste actif et fertile à ce jour. Tous ces éléments, ainsi que de nombreuses autres contributions importantes de Perrin-Riou, continuent de servir de modèle et de guide aux recherches actuelles sur la théorie d'Iwasawa. Cet atelier est donc dédié à la célébration de ses 65 ans.

Au cours de la première décennie de ce siècle, la théorie des systèmes d'Euler fut encore bouleversée par le fait que peu d'exemples étaient connus, à part les exemples de base (unités circulaires, unités elliptiques, points de Heegner et éléments de Beilinson) introduits et exploités par Thaine, Rubin, Kolyvagin et Kato respectivement. Vers 2010, la construction de Kato a été étendue pour englober les familles p-adiques de classes de cohomologie issues des éléments de Beilinson-Flach et les cycles diagonaux des produits triples des variétés Kuga-Sato, avec application à la conjecture de Birch et Swinnerton de rang analytique zéro, dans l'esprit des premiers travaux de Coates et Wiles. Des progrès importants ont ensuite été réalisés dans l'établissement de la compatibilité des éléments de Beilinson-Flach avec les normes du système Euler. Cela a ouvert la voie à une grande variété de constructions de nouveaux systèmes Euler, notamment à la convolution Rankin-Selberg de deux formes modulaires, les formes modulaires Siegel sur GSp (4) et GSp (6), ainsi que les surfaces modulaires Hilbert. à peu près au même moment et de manière tout à fait indépendante, une stratégie très différente a été proposée pour étudier la diagonale sur des produits triples basée sur des congruences entre des formes modulaires au lieu de déformations $ p $ -adiques, conduisant à des constructions remarquables dont la portée pourrait dépasser les approches plus traditionnelles basées sur des éléments compatibles avec les normes. Enfin, les progrès importants découlant de la méthode d'Eisenstein offrent une approche complémentaire puissante, contribuant grandement au pouvoir, à l'utilité et à l'attrait croissant des techniques du système d'Euler.

L'atelier précédera la conférence annuelle Québec-Maine qui se tiendra cette année-là à l'Université Laval les samedi et dimanche 26 et 27 septembre. L'atelier se terminera le vendredi midi afin que ceux qui le souhaitent puissent se rendre à Québec l'après-midi. (Environ 3 heures de trajet en train ou en bus.)