Survol

[ English ]

Semestre spécial sur la comohologie en arithmétique, automne 2020

Les méthodes et les perspectives homologiques sont omniprésentes en théorie des nombres. Pour défendre cette assertion, il suffit d'évoquer le rôle de la cohomologie étale dans l'étude des fonctions zêta des variétés sur les corps finis à travers les conjectures de Weil, ou l'interprétation cohomologique de la théorie du corps de classe formulée par Artin et Tate dans les années 1950. La théorie des motifs, manifestation d'une cohomologie universelle pour les variétés algébriques, et la cohomologie motivique qui en résulte occupent un place centrale dans l'étude des valeurs spéciales des fonctions L des variétés sur les corps de nombres, à travers les conjectures de Deligne, Beilinson-Bloch, et Bloch-Kato. Plusieurs des avancées récentes dans le programme de Langlands exploitent le lien fertile entre représentations automorphes et cohomologie des variétés de Shimura et de quotients arithmétiques d'espaces localement symétriques. L'étude des valeurs spéciales des fonctions L et le programme Langlands, que l'on entrevoyait au début des années 1990 comme deux volets fondamentaux mais distincts de l'arithmétique, ont trouvé leur unification dans la démonstration de la conjecture de Shimura-Taniyama par Andrew Wiles, qui réduit cette conjecture à un cas particulier de la conjecture de Bloch-Kato pour le motif associé au carré symétrique d'une courbe elliptique. Au cours des dernières années, la cohomologie des quotients arithmétiques et leurs liens avec les représentations automorphes on fait l'objet de nombreux travaux, motivés en partie par le désir d'étendre le champ d'applicabilité de la célèbre méthode de Taylor-Wiles. Ceci a mené à de nouveaux résultats sur la modularité et l'automorphie potentielle, notamment pour les surfaces abéliennes et les courbes elliptiques sur les corps CM.