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Les quotients arithmétiques des espaces localement symétriques et leur cohomologie

Si G est un groupe algébrique réducteur sur Z, le groupe G (Z) de ses points intégraux (ou de l'un de leurs sous-groupes de congruence) agit de manière discrète sur l'espace localement symétrique X: = G (R) / K, où K est un compact maximal. sous-groupe de G (R). Les quotients G (Z) X jouent un rôle fondamental dans la théorie des formes automorphes et dans la théorie des nombres. Leur cohomologie est notamment une riche source d'invariants liés aux représentations automorphes de G et joue donc un rôle central dans le programme de Langlands. Une trichotomie fondamentale régissant le comportement topologique de tels quotients arithmétiques a été proposée vers 2010 par Bergeron et Venkatesh. Un seul entier positif d, dépendant uniquement de l'espace symétrique sus-jacent X, dicte le comportement attendu de l'homologie du quotient arithmétique. Lorsque d = 0, la cohomologie ne devrait avoir que très peu de torsion, mais beaucoup d'homologie caractéristique 0, qui peut être étudiée via des méthodes analytiques et transcendantales (cohomologie de Rham, théorie de Hodge). Les variétés Shimura et les vrais espaces hyperboliques de dimensions égales entrent dans cette classe. Quand d = 1, on s'attend à trouver beaucoup de torsion mais très peu d'homologie caractéristique 0. Des variétés hyperboliques de dimensions impaires, telles que le triple de Bianchi SL2 (Z [i]) SL2 (C) / U (2), entrent dans ce cas. Lorsque d est supérieur à 1, on s'attend à peu de torsion et à peu d'homologie caractéristique zéro.

Des progrès remarquables ont été réalisés dans la compréhension de l'interaction de cette trichotomie avec l'arithmétique: lorsque d = 0, plusieurs récents résultats intéressants sans perte de torsion ont été obtenus par des chercheurs tels que Caraiani, Emerton, Gee et Scholze. Quand d = 1, on peut se demander si la torsion se produit toujours quand on le prévoit et avec l'abondance attendue. La torsion peut être sondée analytiquement en utilisant le théorème de Cheeger-Muller. Mais il existe des obstructions («valeurs propres minuscules» et «cycles très complexes»), qui sont très intéressantes en elles-mêmes, et qu'il faut surmonter pour prouver qu'il ya autant de torsions que prévu. Ce problème de croissance en torsion, en particulier pour les trois variétés hyperboliques, a une vie propre, même en dehors de la théorie des nombres, notamment dans la communauté des théoriciens des groupes géométriques. Parmi les développements les plus frappants survenus dans le cadre relativement peu exploré où d est supérieur à 1, citons la construction par Peter Scholze de représentations de Galois attachées à des classes propres (éventuellement de torsion) dans la cohomologie des quotients arithmétiques, particulièrement profonde en l'espèce. . Une autre percée fondamentale très prometteuse se manifeste dans la conjecture d'Akshay Venkatesh sur les algèbres de Hecke dérivées, qui devrait jouer un rôle important dans l'extension du champ d'application de la méthode de Taylor-Wiles au-delà du cadre de d = 0 auquel elle avait été confinée jusqu'à présent. récemment. L'étude approfondie de la torsion dans l'homologie et de la torsion analytique réalisée précédemment par Bergeron, Venkatesh et d'autres ont joué un rôle très important dans la théorie naissante des opérateurs de Hecke dérivés et dans l'action motivique qui en découle sur la cohomologie des groupes arithmétiques. Dans des cas très spéciaux, où G = GL (2) et un se concentrent sur la cohomologie cohérente d'un quotient arithmétique avec des valeurs dans certaines gerbes automorphes, les conjectures de Venkatesh montrent un lien tentant avec certains "raffinements apprivoisés", dans l'esprit des conjectures de Mazur et Tate, de conjectures sur les valeurs des fonctions L p-adiques du triple produit.

Le champ est encore à un stade très exploratoire dans lequel les attentes précises (conjecturales ou autres) n'ont pas encore été complètement cristallisées. Par exemple, il ne semble pas encore y avoir de conjecture raisonnable quant à «quelle quantité de cohomologie», de torsion ou de zéro caractéristique, il faut s'attendre lorsque d est supérieur à 1. Entre autres raisons, cela rend le calcul dans ce paramètre très intéressant. L'atelier devrait comporter une composante informatique et expérimentale importante, dans laquelle divers experts présenteront des données expérimentales susceptibles de contribuer utilement à la concrétisation de nos attentes.