La géométrie des pavages a une longue histoire qui remonte à l'Antiquité alors que des tendances apparaissaient en architecture (notamment les palais d'Alhambra et d'Alcazar en Espagne) et en arts décoratifs (dessins de Cornelius Escher). Les 17 groupes de papiers peints permettent un classement des pavages réguliers. En ces temps modernes, la géométrie digitale émerge en tant que domaine de recherche qui traite des ensembles de points discrets visant à transposer les notions classiques de la géométrie euclidienne au plan digital Z × Z. Il est généralement convenu que la création de ce domaine de recherche a lieu au début des années 1970 avec les articles fondamentaux d'Azriel Rosenfeld illustrant parfaitement la transposition de la géométrie euclidienne: « Connectivity in digital pictures » (1970); « Arcs and curves in digital pictures » (1973); et aussi « Digital straight line segments » (1974). Cependant, tel que mentionné par R. Klette et Azriel Rosenfeld lui-même dans l'introduction de leur article « Digital straightness » (2004): « Related work even earlier on the theory of words, specifically, on mechanical or Sturmian words, remained unnoticed in the pattern recognition community. »

Les combinatoires sur les mots bâtissent des ponts entre la géométrie digitale et les combinatoires des pavages étant donné que les tuiles représentent des polyominos.

Au cours des dix dernières années, nous avons contribué au domaine de la géométrie digitale, particulièrement à la description des pavages obtenus en traduisant une seule tuile laquelle appartient à un des 17 groupes de papier peint. La résolution d'équations sur les mots fournit des outils puissants pour décrire les tuiles :

— des motifs tels que les palindromes et les pseudo-palindromes décrivent les formes des tuiles;
— l'énumération et la génération aléatoire;
— les factorisations de Lyndon et les mots de Christoffel sont utiles pour décrire la convexité.

Ceci ouvre la voie à l'étude des tessellations du point de vue des combinatoires sur les mots.

École

L'objectif premier de l'école est de permettre un exposé liminaire sur les thèmes allant des combinatoires des mots nécessaires pour la description des pavages du plan, y compris les méthodes courantes aux problèmes résolus, notamment,

— les équations sur les mots;
— motifs: périodicité et palindromes;
— caractérisation des tuiles qui pavent le plan;
— l'énumération et la génération des tuiles.

Atelier

Dix conférences d'une heure se tiendront (y compris la période de questions), deux le matin dans des domaines incluant mais non limités aux thèmes de la semaine précédente de l'école de printemps. Les après-midi seront consacrés au travail de groupe autour de problèmes ouverts et des sessions de programmation de Sage.