Les dernières années ont vu une remarquable évolution dans les interactions profondes entre la combinatoire algébrique, la géométrie algébrique et la topologie algébrique, exhibant des liens parfois surprenants avec la physique théorique. Ces interactions font intervenir des objets comme: des algèbres d'opérateurs sur les fonctions symétriques ; les polynômes de Macdonald ; des représentations graduées du groupe symétrique et du groupe général linéaire ; les anneaux de cohomologie des variétés grassmaniennes et des variétés de drapeaux ; les algèbres de Cherednik rationnelles ; des phénomènes de stabilité pour les représentations, etc. Plus récemment encore, la combinatoire de Catalan rectangulaire s'est développée en lien avec plusieurs domaines regroupant un vaste pan des mathématiques, allant de la théorie de la représentation des Sn-modules de polynômes harmoniques diagonaux et d'espaces coinvariants diagonaux, à l'étude de l'homologie de Khovanov-Rozansky de (m,n)-noeuds sur le tore ; en passant par des fibrés sur le schéma de Hilbert de points dans le plan (ou des espaces de dimensions supérieures), et les fibrés de Springer affine. En raison des liens particuliers qu'entretiennent ces sujets et la combinatoire algébrique, et pour souligner que ceux-ci font généralement intervenir des actions de groupes (potentiellement déformés), nous avons pensé pertinent de nommer leu étude: « combinatoire équivariante ».

Parmi les questions que nous comptons explorer au cours de cet atelier se retrouvent les diverses extensions de la conjecture «Shuffle». Ces extensions lient des formules d'énumération combinatoires explicites à la réalisation de l'algèbre de Hall elliptique en termes d'opérateurs de création. D'une part, les diverses conjectures font intervenir des sommes d'expressions obtenues via la combinatoire liées à des « fonctions de stationnement » associées à des familles (dépendantes des conjectures) de chemins dans des réseaux rectangulaires ; tandis que d'autre part on considère des formules qui s'obtiennent via un choix judicieux d'opérateurs de création. Notre compréhension du lien entre opérateurs et le choix de familles de chemins associés est en développement ; ainsi que les liens avec la théorie de la représentation, en termes de Sn-modules de polynômes multivariés. Enfin, des développements récents suggèrent que des techniques inspirées de la théorie des noeuds permettent de résoudre certaines des conjectures les plus avancées.

Nous planifions explorer ces diverses avenues, et développer notre compréhension des divers liens entre tous ces domaines.

Matériel pour l'atelier

Nous tenons à remercier l'appui accordé par le NSF: DMS1723851