Mini-courses
Speaker: Franz Chouly (Université de Franche-Comté)
Title: Application de la méthode de Nitsche aux problèmes de contact unilatéral
Summary
En calcul des structures, il est courant de devoir prendre en compte des conditions aux limites de type contact et/ou frottement, qui sont fortement non-linéaires (la zone de contact/frottement effectif n’est pas connue d’avance). Dans le cadre d’une résolution par éléments finis, ces conditions peuvent être traitées par exemple sous forme pénalisée ou mixte.
Dans ce cours, nous étudierons une méthode alternative basée sur un traitement de type Nitsche de ces conditions. La méthode de Nitsche, initialement proposée pour traiter de façon faible des conditions de Dirichlet non-homogènes, permet de rester consistant avec le problème original (contrairement à une pénalisation ou à une régularisation) sans introduire pour autant d’inconnue supplémentaire (contrairement aux méthodes mixtes qui font appel à un multiplicateur de Lagrange).
Nous étudierons d’abord cette méthode à la Nitsche du point de vue de l’analyse numérique, pour le problème de Signorini : le contact est unilatéral et sans frottement, en petites déformations. Nous verrons en quoi la méthode est consistante, stable et converge de façon optimale en norme $H^1$ vers la solution du problème continu. Nous verrons également comment le problème discret peut être résolu en pratique et examinerons quelques cas-tests numériques représentatifs. Pour finir, nous pourrons envisager de regarder différentes extensions : contact entre deux solides élastiques déformables, grandes transformations élastiques, contact dynamique ou contact avec frottement par exemple.
Plan
1. Le problème de contact unilatéral sans frottement. (1h30)
Dérivation, existence, unicité et régularité de la solution.
2. Discrétisation avec la méthode de Nitsche. (1h30)
Rappels sur la méthode de Nitsche.
Formulation et variantes. Lien avec d’autres méthodes.
3. Analyse numérique de la méthode. (2h)
Consistance.
Problème discret bien posé.
Convergence optimale en norme $H^1$.
Estimateurs a posteriori résiduels explicites.
4. Implémentation et expériences numériques. (1h30)
Librairie éléments finis GetFEM++.
Méthode de Newton semi-lisse.
Résultats sur le problème de Hertz.
5. Diverses extensions. (1h30 - informel, discussions, thèmes evt. au choix du public)
Contact entre deux solides élastiques.
et/ou Grandes transformations élastiques.
et/ou Contact en élastodynamique.
et/ou Frottement de Tresca / Coulomb.
Lecturer: Lorenzo Tamellini (CNR-IMATI Pavia)
Title: Numerical techniques for Uncertainty Quantification in random PDEs
Summary
When building a mathematical model to describe the behavior of a physical system, one often has to face the fact that some of the parameters of the model (coefficients, forcing terms, boundary conditions, shape of the physical domain, etc.) are not known exactly but rather affected by a certain amount of uncertainty, and hence naturally described in terms of random variables/random fields. Examples commonly appear e.g. in the engineering practice as well as in the natural sciences (flows in porous media, mechanical analysis, behavior of living tissues, combustion problems, meteorology and atmospheric models, etc.)
The increasing computer power and the need for reliable predictions have pushed researchers to include uncertainty in scientific computing (“Uncertainty Quantification”). Common goals in this framework are computing statistical indices, like mean or variance, for some quantities of interest related to the solution of the equation at hand (this analysis is typically known as "forward analysis", or "forward uncertainty propagation"), or viceversa to improve the statistical description of the input parameters of the model based on some observations of the quantities of interest (i.e. an "inverse analysis").
One of the main challenges in UQ is represented by the fact that in many applications tens/hundreds of random variables may be necessary to obtain an accurate representation of the solution. The numerical schemes adopted to perform the Uncertainty Quantification should then be designed to reduce the degradation of their performance whenever the number of parameters increases, a phenomenon known as “curse of dimensionality”.
In this course we focus on mathematical models based on Partial Differential Equations with stochastic input parameters (random PDEs), and review some of the most used numerical techniques for forward and inverse Uncertainty Quantification.
Plan
1. Introduction to UQ, Polynomial Chaos Expansion, Stochastic Galerkin methods
2. Stochastic Collocation on Sparse Grids
3. Multi-Level / Multi-Index methods for UQ
4. UQ framework for inverse problems: Maximum Likelyhood and Bayesian Update methods