L'atelier est consacré aux champs aléatoires en géométrie et physique qui modélisent la notion intuitive d'une surface aléatoire. L'accent est mis sur les propriétés géométrique et morphologique des surfaces aléatoires. Les plus simples des surfaces aléatoires sont définies par des graphiques de fonctions gaulliennes aléatoires variées qui ont été utilisées en physique pour modéliser les vagues de l'eau, les motifs tachetés de la lumière laser, la diffusion massive de l'univers jeune ou les vides de la théorie des cordes. L'étude de leur géométrie est parfois appelée topographie statistique. Les propriétés géométriques intéressantes vont des propriétés de connectivité et courbures de lignes de contour, à la distribution et la corrélation de périodes de pointe, à la structure des ensembles d'excursions. La «roughtness» des surfaces aléatoires correspond à la classe des fonctions aléatoires de Sobolev ; elle s'étend des harmoniques sphériques de degré fixe mais large, au GFF (champs libre gaussien) qui est une diffusion aléatoire plutôt qu'une fonction.

La gravité quantique implique une notion plus difficile de surface aléatoire, notamment une métrique riemannienne aléatoire sur une surface fixe ou un ensemble. La définition de la mesure e^{- S(g)} Dg sur l'espace M de toutes les métriques riemanniennes (modulo difféomorphismes) implique la définition de la métrique riemannienne sur M elle-même. Polyakov a utilisé la forme volume Dg de la métrique naturelle de Witt-Ebin sur M de concert avec l'action Liouville pour définir la gravité quantique 2 D associé à la matière. La géométrie de telles surfaces aléatoires Liouville a été étudié au niveau de la rigueur de la physique pendant plusieurs décennies par Polyakov, Knizhik, Zamolodchikov, Friedan, David, Distler, Duplantier et plusieurs autres. Récemment une définition rigoureuse de la mesure Polyakov sur une classe conforme de métriques sur le disque a été donné par Duplantier-Sheffield, basée sur la création exponentielle de GFF. Ils ont démontré une relation d'échelle entre des régions de disques relatif aux métriques aléatoires et à une métrique fixe reconnue comme étant la relation KPZ.

Les exponentiels de champs gaussiens plus réguliers ont été étudiés par Y. Canzani, D. Jakobson et I. Wigman qui ont démontré des résultats rigoureux sur la courbure de telles métriques aléatoires. Une notion différente de métrique aléatoire dans une classe conforme (ou classe de Kahler) a récemment été proposée par Ferrari-Klevtsov-Zelditch, basée sur la métrique de Mabuchi-Semmes-Donaldson sur M et ses approximations par les espaces symétriques finis dimensionnels des métriques de Bergman. L'étude mathématique des métriques aléatoires riemanniennes en est à ses premiers balbutiements et l'atelier vise à réviser tant les propriétés conjecturales des surfaces aléatoires que les sortes de particularités géométriques qui peuvent être rigoureusement étudiées. La géométrie de dimension infinie des variétés riemanniennes M des métriques (en particulier, ses propres géodésiques) est intimement impliquée dans l'intégration au-dessus de l'espace des métriques et sera également exploré au cours de l'atelier.

D'autres notions de surface aléatoire émergent dans le cadre discret tel que les fonctions de hauteur de pavage de dimères aléatoires ou de triangulations aléatoires d'une surface. Elle peuvent être considérées comme des discrétisations des notions de continuum de surfaces aléatoires en hauteur. Les formes de limites du continuum de telles surfaces aléatoires discrètes ont été étudiées par Kenyon, Okounkov, Sheffield et plusieurs autres. Bien que l'atelier porte sur l'approche de continuum pour la théorie des surfaces aléatoires, il vise également à donner un aperçu des travaux reliés aux surfaces aléatoires discrètes.

Les champs aléatoires ont largement été utilisés pour modéliser le comportement des fonctions propres de haute énergie dans les quantifications des systèmes chaotiques. Nous espérons discuter des approches récentes pour l'amélioration des espaces des opérateurs (par exemple: les travaux de Toth et Eswarathasan) et les relations possibles aux conjectures Vague Aléatoire dans le Chaos Quantique.

Finalement, nous espérons discuter des applications des méthodes probabilistes afin d'améliorer l'existence et la régularité des résultats pour les solutions des PDE avec des conditions initiales aléatoires.