Survol

Le fluide incompressible idéal est un exemple naturel d'un système mécanique ayant un nombre infini de degrés de liberté. Récemment le point de vue lagrangien en ce qui a trait aux trajectoires des particules est devenu un domaine d'étude dynamique pour plusieurs raisons. Géométriquement, l'espace de configuration lagrangien peut être associé au groupe des difféomorphismes preservant le volume du domaine du flot, équipé d'une métrique riemannienne invariante à droite. Notre compréhension de la géométrie de cet espace est limitée malgré le travail considérable effectué au cours de la dernière décennie.

Par exemple, bien que l'existence globale en deux dimensions de solutions lisses soit bien connue, le comportement à long terme du système dynamique demeure mystérieux. Les simulations numériques suggèrent l'existence d'un attracteur pour les équations 2-d Euler, un comportement contre-intuitif pour un système Hamiltonien. Un phénomène connexe est la cascade d'énergie inverse en fluide 2-d dont le rapport avec la géométrie du groupe de difféomorphismes n'a pas encore fait l'objet d'études.

Le problème de la stabilité/l'instabilité dans l'écoulement de fluides en rapport avec la courbure du groupe de difféomorphismes est imprécis; il s'agit de la motivation initiale dans l'approche géométrique d'Arnold, toujours à l'étude. La connexion entre le comportement à long terme de flots et la structure du groupe de difféomorphismes à l'infini devrait être considérée. (Nous ne connaissons que des exemples de modèles simples)

Parmi les thèmes de l'atelier, on retrouve, de manière non exhaustive:

  • - L'existence et les propriétés des attracteurs possibles dans l'espace de champs vectoriels 2-d

  • - Les propriétés du système dynamique dans l'espace des difféomorphismes incluant le taux de croissance de «complexité» de solutions individuelles.

  • - La structure à grande échelle du groupe de difféomorphismes et ses connexions avec le comportement de trajectoires à long terme (géométrie asymptotique et dynamiques asymptotiques)

  • - La chiralité et la courbure dans la géométrie et les dynamiques sur le groupe de difféomorphismes et l'instabilité des flots.

  • - Les résultats de "blow-up" pour l'équation 3-d en termes de géométrie le long des trajectoires de particules.

  • - Le modèle des systèmes pour le fluide, y compris le filon idéal inextensible.

  • - Les résultats de régularité dans le problème de minimisation en deux points sur l'espace des cartes de conservation du volume.

Ce sont des exemples de certains des problèmes émergents les plus intéressants en dynamiques des fluides et c'est l'objectif de la conférence de répondre à ces problèmes.